Operação elementar (matrizes)

Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações elementares de linha, enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações elementares de coluna.

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir a matriz a forma escalonada. Elas também são usadas na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz à forma reduzida escalonada.

Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linha

Uma linha dentro da matriz pode ser alternada com outra linha.

${\displaystyle L_{i}\leftrightarrow L_{j}}$

Multiplicação de linha

Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero.

${\displaystyle kL_{i}\rightarrow L_{i},\ {\mbox{onde }}k\neq 0}$

Adição de linha

Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

${\displaystyle L_{i}+kL_{j}\rightarrow L_{i},{\mbox{onde }}i\neq j}$

Se ${\displaystyle E}$ é uma matriz elementar, como descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz ${\displaystyle A}$, multiplica-se ${\displaystyle A}$ pela matriz elementar à esquerda, ${\displaystyle E\!A}$. A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.

O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz ${\displaystyle A}$ alterna todos os elementos da matriz na linha ${\displaystyle i}$ com seus equivalentes na linha ${\displaystyle j}$. A matriz elementar correspondente é obtida trocando a linha ${\displaystyle i}$ e a linha ${\displaystyle j}$ da matriz identidade.

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Então ${\displaystyle T_{ij}A}$ é a matriz produzida pela troca da linha ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle A}$.

• A inversa dessa matriz é ela mesma: ${\displaystyle T_{ij}^{-1}=T_{ij}.}$
• Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, ${\displaystyle det[T_{ij}]=-1}$. Segue-se que, para qualquer matriz quadrada ${\displaystyle A}$ (do tamanho correto), temos ${\displaystyle det[T_{ij}A]=-det[A]}$

O próximo tipo de operação de linha em uma matriz ${\displaystyle A}$ multiplica todos os elementos da linha ${\displaystyle i}$ por ${\displaystyle m}$, em que ${\displaystyle m}$ é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na ${\displaystyle i}$-ésima posição, onde é ${\displaystyle m}$.

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Então ${\displaystyle D_{i}\!(m)\!A}$ é a matriz produzida a partir da multiplicação da linha ${\displaystyle i}$ por ${\displaystyle m}$.

• A inversa dessa matriz é: ${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}({\frac {1}{m}})}$
• A matriz e sua inversa são matrizes diagonais.
• ${\displaystyle det[D_{i}(m)]=m}$. Portanto, para uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ (do tamanho correto), temos ${\displaystyle det[D_{i}(m)A]=m\ det[A]}$.

O tipo final de operação de linha em uma matriz ${\displaystyle A}$ adiciona a linha ${\displaystyle i}$ multiplicada por um escalar ${\displaystyle m}$ à linha ${\displaystyle j}$. A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um ${\displaystyle m}$ na posição ${\displaystyle (j,i)}$.

${\displaystyle U_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Então ${\displaystyle U_{ij}(m)A}$ é a matriz produzida a partir de ${\displaystyle A}$ adicionando ${\displaystyle m}$ vezes a linha ${\displaystyle i}$ à linha ${\displaystyle j}$. E ${\displaystyle AU_{ij}(m)}$ é a matriz produzida a partir de ${\displaystyle A}$ adicionando ${\displaystyle m}$ vezes a coluna ${\displaystyle j}$ à coluna ${\displaystyle i}$.

• Essas transformações são uma espécie de transformação de cisalhamento.
• ${\displaystyle U_{ij}(m)^{-1}=U_{ij}(-m)}$ (matriz inversa).
• A matriz e sua inversa são matrizes triangulares.
• ${\displaystyle det[L_{ij}(m)]=1}$. Portanto, para uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ (do tamanho correto) temos ${\displaystyle det[L_{ij}(m)A]=det[A]}$.
• As transformações de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg.

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