Problema de Dirichlet

Em matemática, um problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial parcial (EDP) dada no interior de uma região dada e que toma valores prescritos na fronteira (contorno) desta.

Originalmente, o problema foi proposto para a equação de Laplace. Nesse caso ele pode ser apresentado da seguinte forma: dada uma função ${\displaystyle f}$ definida no contorno de um dado conjunto em Rⁿ, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que ${\displaystyle u}$ é harmônica no interior e ${\displaystyle u=f}$ no contorno?

A exigência imposta sobre ${\displaystyle u}$ na fronteira do conjunto é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução. A unicidade pode ser demonstrada usando-se o princípio do máximo.

O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.

Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.

Para um domínio ${\displaystyle D}$ tendo um contorno suficientemente suave ${\displaystyle \partial D}$, a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds}$

onde ${\displaystyle G(x,y)}$ é a função de Green para a equação diferencial parcial, e

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno ${\displaystyle {\widehat {n}}}$. A integração é realizada sobre o contorno, com medida ${\displaystyle ds}$. A função ${\displaystyle \nu (s)}$ é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds.}$

A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

para ${\displaystyle s\in \partial D}$ e ${\displaystyle x\in D}$. Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.

O problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e ${\displaystyle f(s)}$ é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando

${\displaystyle \partial D\in C^{(1,\alpha )}}$

para ${\displaystyle 0<\alpha }$, onde ${\displaystyle C^{(1,\alpha )}}$ denota a condição de Hölder.

Em alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R² é dado pela fórmula integral de Poisson.

Se ${\displaystyle f}$ é uma função contínua no contorno ${\displaystyle \partial D}$ de um disco unidade aberto ${\displaystyle D}$, então a solução para o problema de Dirichlet é ${\displaystyle u(z)}$ dado por

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert z-e^{i\psi }\vert ^{2}}}d\psi &{\mbox{if }}z\in D\\f(z)&{\mbox{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

A solução ${\displaystyle u}$ é contínua no disco unidade fechado ${\displaystyle {\bar {D}}}$ e harmônica sobre ${\displaystyle D.}$

O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log \vert z-x\vert +\gamma (z,x)}$

onde ${\displaystyle \gamma (z,x)}$ é harmônica

${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$

e escolhida tal que ${\displaystyle G(z,x)=0}$ para ${\displaystyle x\in \partial D}$.

Problemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.

Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.

• A. Yanushauskas (2001), "Dirichlet problem", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
• S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, ISBN 978-3-540-41160-4 2nd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag 

• Método Perron

• Eric W. Weisstein; Dirichlet Problem - MathWorld
• Dirichlet Problem Module by John H. Mathews