Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.
No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto
, onde
é centro da série e
é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta
. Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência
A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:
, onde
são os coeficientes da série:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d86d623b17d858c44723d6fc9c6566cbfd5753)
Existe um forma alternativa que é:
, quando este limite existe.
Exemplos
As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência
.
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c37662cf335696fc126b7ca498911d9586f91da)
![{\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa339449e8827e97dd3cab3c15ff179542a347d)
![{\displaystyle h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33be87d1cd2123df76332f0cef120cf164f735d)
A convergência na circunferência
, no entanto, é diferente para cada caso:
não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo
de módulo unitário pelo teste de Abel.
converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica
.
Uma série pode ter raio de convergência nulo:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n!z^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a85b275c813563cc5cbefdefa134cba951bca18)
Esta série não pode convegir para nenhum
pelo teste do termo geral, convergindo apenas para
Uma série pode ter raio de convergência infinito:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb8d23f21e675094f717b7d3cccc7f1996db6d2)
Neste caso, a série converge para todo z.
A fórmula de Hadamard
A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:
![{\displaystyle R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ac7e89d1be90baccc7f118d6ee4da67ce6bb8e)
Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.
O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola
. Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto
tal que
.
Para mostrar a primeira parte, escolha
. Escolha um
tal que
Da definição de limite superior temos:
para algum ![{\displaystyle N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4f97d800eaacd982789661ac3896e1181d6137)
Agora podemos estimar os termos da série:
![{\displaystyle |a_{n}(Z-a)^{n}|\leq \rho ^{-n}r^{n}=\left({\frac {\rho }{r}}\right)^{-n},~~n>N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87532656d9c98e6fc7cfbc79bece400b1f9ad986)
E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica
que é convergente.
Agora escolha um
tal que
. Escolha
tal que
, da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência
tal que:
![{\displaystyle |a_{n_{k}}|^{1/{n_{k}}}>R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79edf554df06d57cc561226a7c3b30620ffce359)
Assim a o termo
não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.
Ver também