Teoria acústica

Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.

A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial t}}+\kappa ~\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\qquad {\text{(Equilíbrio da massa)}}\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p&=0\qquad {\text{(Equilíbrio do momento)}}\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ é a pressão acústica e ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ é o vetor da velocidade de fluxo, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é o vetor das coordenadas espaciais ${\displaystyle x,y,z}$, ${\displaystyle t}$ é o tempo, ${\displaystyle \rho _{0}}$ é a densidade de massa estática do meio e ${\displaystyle \kappa }$ é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio (${\displaystyle c_{0}}$) como

${\displaystyle \kappa =\rho _{0}c_{0}^{2}~.}$

Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =\mathbf {0} }$, então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como ^[1]

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\mathbf {u} =0\qquad {\text{or}}\qquad {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}p=0,}$

onde nós usamos o vetor laplaciano, ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$ . A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar ${\displaystyle \varphi }$ onde ${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi }$. Neste caso a equação da onda é escrita como

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\varphi =0}$

e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como

${\displaystyle p+\rho _{0}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~;~~\rho +{\cfrac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~.}$

As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.

As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {g} }$

onde ${\displaystyle \mathbf {g} }$ é a força do corpo por unidade de massa, ${\displaystyle p}$ é a pressão, e ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ é a desvio de tensão. Se ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}~{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})~;~~{\boldsymbol {\sigma }}:=-p{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {\tau }}}$

onde ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ é um tensor de segunda ordem.

Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.

Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu ~\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]+\lambda ~(\nabla \cdot \mathbf {u} )~{\boldsymbol {I}}}$

onde ${\displaystyle \mu }$ é a viscosidade de cisalhamento e ${\displaystyle \lambda }$ é a viscosidade do módulo.

Assim sendo, a divergência de ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ é dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\equiv {\cfrac {\partial s_{ij}}{\partial x_{i}}}&=\mu \left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+\lambda ~\left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\right)\right]\delta _{ij}\\&=\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}+\lambda ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}\\&=(\mu +\lambda )~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}^{2}}}\\&\equiv (\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu ~\nabla ^{2}\mathbf {u} ~.\end{aligned}}}$

Usando a identidade ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} }$, nós temos

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} ~.}$

As equações de conservação do momento então podem ser escritas como

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} +\rho \mathbf {g} }$

Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =0}$

e a equação de momento pode ser reduzida para

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} }$

Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p}$

Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio (${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante (${\displaystyle {\tilde {\cdot }}}$) que varia no espaço e tempo. Que é

${\displaystyle p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}}$

e

${\displaystyle {\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.}$

Então a equação de momento pode ser expressa como

${\displaystyle \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\cdot \nabla \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\right]=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]}$

Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}&+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]\\&=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]\end{aligned}}}$

Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo ${\displaystyle \langle p\rangle }$ e ${\displaystyle \langle \rho \rangle }$ tem gradientes nulos, que é,

${\displaystyle \nabla \langle p\rangle =0~;~~\nabla \langle \rho \rangle =0~.}$

A equação momento então se torna

${\displaystyle \langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]=-\nabla {\tilde {p}}}$

Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é, ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle =0}$. Então o balanço do momento se reduz para

${\displaystyle \langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}=-\nabla {\tilde {p}}}$

Deixando cair os tis e usando ${\displaystyle \rho _{0}:=\langle \rho \rangle }$, nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento

${\displaystyle \rho _{0}~{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p=0~.}$

A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

onde ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ é a densidade da massa do fluido e ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ a velocidade de fluxo.

A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.

Da suposição de pequenas perturbações nós temos

${\displaystyle p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}}$

e

${\displaystyle {\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.}$

Então a equação da massa pode ser escrita como

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]=0}$

Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\nabla \langle \rho \rangle \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}$

Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,

${\displaystyle \nabla \langle \rho \rangle =0~.}$

Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla {\tilde {\rho }}\cdot \langle \mathbf {u} \rangle =0}$

Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja, ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle =0}$. Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}$

Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:

${\displaystyle {\cfrac {dp}{d\rho }}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~;~~\gamma :={\cfrac {c_{p}}{c_{v}}}~;~~c^{2}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~.}$

onde ${\displaystyle c_{p}}$ é o calor específico em pressão constante, ${\displaystyle c_{v}}$ é o calor específico em volume constante, e ${\displaystyle c}$ é a velocidade da onda. O valor de ${\displaystyle \gamma }$ é 1.4 se o meio acústico é ar.

Para pequenas perturbações

${\displaystyle {\cfrac {dp}{d\rho }}\approx {\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}~;~~{\cfrac {p}{\rho }}\approx {\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~;~~c^{2}\approx c_{0}^{2}={\cfrac {\gamma ~\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~.}$

onde ${\displaystyle c_{0}}$ é a velocidade do som no meio.

Sendo assim,

${\displaystyle {\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}=\gamma ~{\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}=c_{0}^{2}\qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}=c_{0}^{2}{\cfrac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}}$

O equilíbrio de massa então pode ser escrito como

${\displaystyle {\cfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}$

Deixando cair os tis e definindo ${\displaystyle \rho _{0}:=\langle \rho \rangle }$ nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}+\rho _{0}~c_{0}^{2}~\nabla \cdot \mathbf {u} =0~.}$

Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ com vetores base ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}}$, então o gradiente de ${\displaystyle p}$ e a divergência de ${\displaystyle \mathbf {u} }$ são dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla p&={\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}$

onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como ${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$.

A equação para a conservação do momento pode ser escrita como

${\displaystyle \rho _{0}~\left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{z}\right]+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}=0}$

Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são

${\displaystyle \rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}=0~.}$

A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como

${\displaystyle {\cfrac {\partial p}{\partial t}}+\kappa \left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right]=0~.}$

As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma

${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)={\hat {p}}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~i:={\sqrt {-1}}}$

onde ${\displaystyle \omega }$ é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial r}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{r}~;~~{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial \theta }}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{\theta }~;~~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial z}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{z}}$

e a forma de frequencia fixa da conservação de massa

${\displaystyle {\cfrac {i\omega {\hat {p}}}{\kappa }}={\cfrac {\partial {\hat {u}}_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial {\hat {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}+{\hat {u}}_{r}\right)+{\cfrac {\partial {\hat {u}}_{z}}{\partial z}}~.}$

Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar ${\displaystyle u_{r},u_{\theta }}$ para conseguir

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~p=0}$

Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como

${\displaystyle p(r,\theta )=R(r)~Q(\theta )}$

nós podemos escrever a equação diferencial parcial como

${\displaystyle {\cfrac {r^{2}}{R}}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+{\cfrac {r}{R}}~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}=-{\cfrac {1}{Q}}~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}}$

O lado esquerdo não é uma função de ${\displaystyle \theta }$ enquanto que o lado direito não é uma função de ${\displaystyle r}$. Consequentemente,

${\displaystyle r^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~R=\alpha ^{2}~R~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q}$

onde ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ é uma constante. Usando a substituição

${\displaystyle {\tilde {r}}\leftarrow \left(\omega {\sqrt {\cfrac {\rho _{0}}{\kappa }}}\right)r=k~r}$

nós temos

${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{d{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}~{\cfrac {dR}{d{\tilde {r}}}}+({\tilde {r}}^{2}-\alpha ^{2})~R=0~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q}$

A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral

${\displaystyle R(r)=A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)}$

onde ${\displaystyle J_{\alpha }}$ é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e ${\displaystyle A_{\alpha },B_{\alpha }}$ são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral

${\displaystyle Q(\theta )=C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }}$

onde ${\displaystyle C_{\alpha },D_{\alpha }}$ são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é

${\displaystyle p(r,\theta )=\left[A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)\right]\left(C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }\right)}$

Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar ${\displaystyle \alpha }$ e as outras constantes indeterminadas.

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