Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)

În dinamica fluidelor, ecuațiile lui Euler constituie un sistem de ecuații ce descriu mișcarea fluidelor fără viscozitate și reprezintă o consecință a conservării masei, momentului și energiei în cadrul ecuațiilor Navier-Stokes.

Element de fluid sub acțiunea forțelor de suprafață

Pentru obținerea acestor ecuații, se va considera un o element de fluid paralelipipedic de masă dm. Aceasta se află în echilibru dinamic sub acțiunea forței de inerție și a forțelor exterioare:

d m ⋅ a → = d F → m + d F → s , {\displaystyle dm\cdot {\vec {a}}=d{\vec {F}}_{m}+d{\vec {F}}_{s},}

unde

d F → m = f → m ⋅ d m {\displaystyle d{\vec {F}}_{m}={\vec {f}}_{m}\cdot dm}

este forța masică, f → m ( X , Y , Z ) {\displaystyle {\vec {f}}_{m}(X,Y,Z)} fiind forța masică unitară.

Componentele masice sunt:

{ d F m x = X ⋅ ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z d F m y = Y ⋅ ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z d F m z = Z ⋅ ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z {\displaystyle {\begin{cases}dF_{m_{x}}=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{y}}=Y\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{z}}=Z\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}}}

Forțele de suprafață se pot calcula pe fiecare suprafață a elementului de fluid prin produsul dintre valoarea presiunii (considerată constantă pe fiecare față a particulei) și mărimea suprafeței pe care acționează. Componentele după direcțiile Ox, Oy, Oz ale rezultantei forțelor de presiune d F p {\displaystyle dF_{p}} sunt:

{ d F p x = p ⋅ d y ⋅ d z − ( p + ∂ p ∂ x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z ) = − ∂ p ∂ x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z d F p y = − ∂ p ∂ y ⋅ d y ⋅ d y ⋅ d z d F p z = − ∂ p ∂ z ⋅ d y ⋅ d y ⋅ d z {\displaystyle {\begin{cases}dF_{p_{x}}=p\cdot dy\cdot dz-\left(p+{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{y}}=-{\frac {\partial p}{\partial y}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{z}}=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\end{cases}}}

Ecuația de mișcare după direcția Ox este:

d u d t = ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = X ⋅ ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z − ∂ p ∂ x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z . {\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz.}

Analog se obțin ecuațiile după direcțiile Oy și Oz. Se împart aceste ecuații la masa elementului de fluid d m = ρ ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z ≠ 0 {\displaystyle dm=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\neq 0} și ținând cont de derivatele substanțiale ale vitezelor, obținem ecuațiile lui Euler pentru dinamica fluidelor reale:

Portal icon Portal Matematică
Portal icon Portal Fizică