Formula lui Leibniz pentru π

În matematică, formula lui Leibniz pentru π este următoarea:

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}

Poartă numele matematicianului Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Demonstrație.

π 4 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=}
= ∫ 0 1 ( ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k + ( − 1 ) n + 1 x 2 n + 2 1 + x 2 ) d x = {\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)dx=}
= ∑ k = 0 n ( − 1 ) k 2 k + 1 + ( − 1 ) n + 1 ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x . {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}+(-1)^{n+1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}dx.}

Se observă că:

0 < ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 2 n + 2 d x = 1 2 n + 3 → 0 p e n t r u n → ∞ . {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}dx<\int _{0}^{1}x^{2n+2}dx={\frac {1}{2n+3}}\to 0\;pentru\;n\to \infty .}

Și pentru   n → ∞ {\displaystyle n\to \infty }   se deduce:

π 4 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}.}
 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.