Limită a unei funcții

În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punct

Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție ${\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} ^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}.\!}$ se analizează comportamentul lui ${\displaystyle f(x)\!}$ atunci când x se apropie de o valoare reală fixată x_o. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de x_o. Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+r)\!}$ unde ${\displaystyle r>0.\!}$

Definiție („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”): Funcția f are limita l în punctul x_o dacă pentru orice ${\displaystyle \epsilon >0\!}$ există un număr ${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0\!}$ astfel ca ${\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon ,\;\forall x\in A,\;x\neq x_{0}\!}$ și ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta .\!}$

Faptul că funcția f are limita l în punctul x_o se notează:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\!}$ sau ${\displaystyle f(x){\underset {x\to x_{0}}{\rightarrow }}l.\!}$

Definiție („definiția cu șiruri”): Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul ${\displaystyle x_{0}}$ dacă pentru orice șir ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ convergent către ${\displaystyle x_{0}\;(x_{n}\in E,\;x_{n}\neq x_{0})}$ șirul valorilor funcției ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n\in \mathbb {N} }}$ este convergent către l.

Cazuri limită

Pentru cazul când unul sau amândouă numerele x_o și l nu sunt finite, există următoarele definiții: ${\displaystyle 1^{\circ }.\quad \lim _{x\to \infty }=l\;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon >0,}$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon ),}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E}$ cu proprietatea ${\displaystyle x>\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon .}$

${\displaystyle 2^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=l\;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon >0,}$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon ),}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E}$ cu proprietatea ${\displaystyle x<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon .}$

${\displaystyle 3^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon )>0,}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;x\neq x_{0}}$ cu proprietatea ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)>\epsilon .}$

${\displaystyle 4^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon )>0,}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;x\neq x_{0}}$ cu proprietatea ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)<\epsilon .}$

${\displaystyle 5^{\circ }.\quad \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon ),}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;}$ cu proprietatea ${\displaystyle x>\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)>\epsilon .}$

${\displaystyle 6^{\circ }.\quad \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon )>0,}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;}$ cu proprietatea ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)<\epsilon .}$

${\displaystyle 7^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon ),}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;}$ cu proprietatea ${\displaystyle x<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)>\epsilon .}$

${\displaystyle 8^{\circ }.\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \;}$   înseamnă: pentru orice ${\displaystyle \epsilon }$ există un ${\displaystyle \delta (\epsilon ),}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E,\;}$ cu proprietatea ${\displaystyle x<\delta (\epsilon )}$ să avem ${\displaystyle f(x)<\epsilon .}$

Limite laterale ale unei funcții

Definiție: Se spune că funcția ${\displaystyle f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ are în punctul ${\displaystyle x_{o}}$ (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga ${\displaystyle l_{s}}$, dacă pentru orice vecinătate U a lui ${\displaystyle l_{s}}$ există o vecinătate V a lui ${\displaystyle x_{o}}$, astfel încât, oricare ar fi ${\displaystyle x<x_{0},\;x\in V\cap E,}$ să avem ${\displaystyle f(x)\in U.}$

Se notează:

${\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x<x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}-0)=l_{s}.}$

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

${\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x>x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}+0)=l_{d}.}$

Proprietăți

Teorema 1. Fie ${\displaystyle f:E\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o funcție și ${\displaystyle x_{0}}$ un punct de acumulare al lui E. Dacă ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l,}$ atunci ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|=|l|.}$

Teorema 2. (Criteriul majorării) Dacă f și g sunt definite pe E, dacă ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=0}$ și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui ${\displaystyle x_{0}}$, astfel încât să fie valabilă inegalitatea ${\displaystyle |f(x)-l|\leq g(x),}$ pentru orice ${\displaystyle x\in V\cap E,\;\;x\neq x_{0}}$ atunci ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.}$

Limita unei funcții compuse

Fie funcțiile ${\displaystyle u:E\subseteq \mathbb {R} \to F\subseteq \mathbb {R} ;\;\;f:F\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ și funcția compusă:

${\displaystyle f\circ u:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ u)(x)=f(u(x))}$

pentru ${\displaystyle x\in E.}$ Fie ${\displaystyle x_{0}}$ un punct de acumulare al lui E și ${\displaystyle u_{0}}$ un punct de acumulare al lui F.

Teoremă. Dacă ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}u(x)=u_{0}}$ și dacă ${\displaystyle \lim _{u\to u_{0}}f(u)=l,}$ atunci funcția compusă ${\displaystyle f\circ u}$ are limită în ${\displaystyle x_{0}}$ și

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(u(x))=\lim _{u\to u_{0}}f(u)=l.}$

Bibliografie

• Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi și

• Funcție continuă
• Derivată
• Limită a unui șir