Sigma-algebra reprezintă o noțiune de bază în cadrul teoriei măsurii. Are aplicații în teoria probabilității și în stocastică.
Definiție
Considerăm mulțimea
. Notăm
mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci o submulțime
a
, i.e.
se numește "σ- Algebră" dacă:
1. Mulțimea de bază
este element al lui
:
.
2. Dacă
conține o mulțime A, atunci conține și complementara acesteia
:
![{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{\mathrm {c} }\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932ba115f64a6ac74a0a11d71b0d9fdada371126)
3. Dacă un număr infinit de mulțimi aparțin lui
, atunci și reuniunea acestora va fi element al lui
:
![{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{A_{n}}\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da2c52e85f16c21dda82300e8bab7a07c8dd708)
Consecințe
- Din condițiile 1 și 2 rezultă:
.
- Dacă
unde
, atunci din legile lui De Morgan rezultă:
.
- De aici rezultă imediat că, dacă
, atunci:
.
- Dacă
atunci
.
Așadar,
este închisă în raport cu diferența mulțimilor.
Exemple
- σ- algebră trivială (discretă):
.
.
Bibliografie
- Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
- Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
Vezi și
Legături externe
- en Sigma-algebră la Planetmath Arhivat în , la Wayback Machine.
- fr Curs referitor la sigma-algebră Arhivat în , la Wayback Machine.