Teorema Gram–Euler

În geometrie, teorema Gram–Euler generalizează formula sumei unghiurilor interioare la politopuri cu mai multe dimensiuni.

Fie P un politop convex n-dimensional. Pentru fiecare celulă ${\displaystyle E}$, fie ${\displaystyle \dim(E)}$ dimensiunea sa (0 pentru vârfuri, 1 pentru laturi, 2 pentru fețe etc.), iar ${\displaystyle \angle (E)}$ unghiul său solid interior, determinat prin alegerea unei (n−1)-sfere suficient de mică, cu centrul într-un punct oarecare din interiorul lui E și se determină suprafața conținută în interiorul lui P. Atunci, ${\textstyle \sum _{E\in \operatorname {Cells} (P)}(-1)^{\dim(E)}\angle (E)=0}$.^[1]

Un poligon P cu n laturi, fiecare latură având un unghi intern π, are o singură față (întregul poligon), care are unghiul intern 2π. Fie A suma unghiurilor interne ale colțurilor (0-vârfurilor). Teorema Gram–Euler spune că ${\displaystyle A-\pi n+2\pi =0}$, adică ${\displaystyle A=\pi (n-2)}$.

Portal Matematică