Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$. Две матрицы p и q в ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ имеют сумму ${\displaystyle p+q}$, определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

${\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

пусть

${\displaystyle \quad q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.}$

Тогда ${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q=(ad-bc)E}$, где ${\displaystyle E}$ — 2×2 единичная матрица. Вещественное число ${\displaystyle ad-bc}$ называется определителем матрицы q. Если ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, q является невырожденной матрицей, и в этом случае

${\displaystyle q^{-1}=q^{*}\,/\,(ad-bc).}$

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$. В терминах абстрактной алгебры ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ является его группой единиц. ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) кокватернионам^[англ.], но с другой структурой.

2×2 вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.}$

Внутри ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть ${\displaystyle P_{m}=\{xE+ym:x,y\in \mathbb {R} \}}$ где ${\displaystyle m^{2}\in \{-E,0,E\}}$. Тогда ${\displaystyle P_{m}}$ является коммутативным подкольцом и ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )=\cup P_{m}}$, где объединение осуществляется по всем m, таким, что ${\displaystyle m^{2}\in \{-E,0,E\}}$.

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}}$.

Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если ${\displaystyle mm=-E}$, то получаем ${\displaystyle bc=-1-aa}$, уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров ${\displaystyle (a,b,c)}$. Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо ${\displaystyle P_{m}}$ изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если ${\displaystyle mm=+E}$, матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение ${\displaystyle bc=+1-aa}$ также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в P_m и в этом случае подкольцо P_m изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо P_m является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ преобразуется заменой базиса^[англ.], эта структура изменяется в структуру сплит-кватернионов^[англ.], где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}.}$

Площади измеряются с плотностью ${\displaystyle dx\wedge dy}$, дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

${\displaystyle {\begin{aligned}du\wedge dv&{}=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&{}=(ps-qr)\ dx\wedge dy=(\det g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}}$

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle =\{g\in M(2,\mathbb {R} ):det(g)=1\}}$, специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце P_m, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку ${\displaystyle gg^{*}=E}$, возможны три варианта:

• ${\displaystyle mm=-E}$ и g лежит на окружности евклидовых поворотов
• ${\displaystyle mm=E}$ и g лежит на гиперболе отображений сжатия^[англ.]
• ${\displaystyle mm=0}$ и g лежит на прямой отображений сдвига^[англ.]

Обсуждая планарные аффинные отображения, Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Коммутативные подкольца алгебры ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей P_m, описанных выше. Концепция единичной компоненты^[англ.] группы единиц подкольца P_m приводит к полярному разложению элементов группы единиц:

• Если ${\displaystyle mm=-E}$, то ${\displaystyle z=\rho \exp({\theta }m)}$.
• Если ${\displaystyle mm=0}$, то ${\displaystyle z=\rho \exp(sm)}$ или ${\displaystyle z=-\rho \exp(sm)}$.
• Если ${\displaystyle mm=E}$, то ${\displaystyle z=\rho \exp(am)}$, или ${\displaystyle z=-\rho \exp(am)}$ или ${\displaystyle z=m\rho \exp(am)}$ или ${\displaystyle z=-m\rho \exp(am)}$.

В первом случае ${\displaystyle \exp(\theta m)=\cos(\theta )+m\sin(\theta )}$. В случае дуальных чисел ${\displaystyle \exp(sm)=1+sm}$. Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и ${\displaystyle \exp(am)=\mathrm {ch} \,a+m\mathrm {sh} \,a}$.

Теперь ${\displaystyle {\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp(am/2)}$ независимо от подплоскости P_m, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если ${\displaystyle \rho \exp(am)}$ является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с 2×2 матрицей m, то значением логарифмической функции будет ${\displaystyle \log \rho +am}$. На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти P_m должны быть исключены в случаях mm = 0 или ${\displaystyle mm=E}$.

Дальнейшее описание теории для структуры ${\displaystyle \mathbb {C} }$ можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Моторная переменная^[англ.].

Любую 2×2 вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённых^[1]) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра 2×2 матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца P_m. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная 2×2 матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим 2×2 матрицу

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Мы ищем комплексную плоскость P_m, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, получим

${\displaystyle z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI.}$

Более того,

${\displaystyle n^{2}=pI}$, где ${\displaystyle p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc}$.

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:

• Если p < 0, то это обычное комплексное число:

Пусть ${\displaystyle q=1/{\sqrt {-p}},\quad m=qn}$. Тогда ${\displaystyle m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}}$.

• Если p = 0, то это дуальное число:

${\displaystyle z=xI+n}$.

• Если p > 0, то z является двойным числом:

Пусть ${\displaystyle q=1/{\sqrt {p}},\quad m=qn}$. Тогда ${\displaystyle m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}}$.

Аналогично, 2×2 может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.