Класс NC

В теории сложности вычислений классом NC (от англ. Nick’s Class) называют множество задач разрешимости, разрешимых за полилогарифмическое время на параллельном компьютере с полиномиальным числом процессоров. Другими словами, задача принадлежит классу NC, если существуют константы ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle c}$ такие, что она может быть решена за время ${\displaystyle O(\log ^{c}n)}$ при использовании ${\displaystyle O(n^{k})}$ параллельных процессоров. Стивен Кук^[1][2] назвал его «Классом Ника» в честь Ника Пиппенжера^[англ.], который провел обширные исследования^[3] схем с полилогарифмической глубиной и полиномиальным размером.^[4]

Так же, как класс P можно считать классом податливых задач (Тезис Кобхэма^[англ.]), так и NC можно считать классом задач, которые могут быть эффективно решены на параллельном компьютере.^[5] NC — это подмножество P, потому что параллельные полилогарифмические вычисления можно симулировать с помощью последовательных полиномиальных вычислений. Неизвестно, верно ли NP = P, но большинство ученых считает, что нет, из чего следует, что скорее всего существуют податливые задачи, которые последовательны «от природы», и не могут быть существенно ускорены при использовании параллелизма. Так же, как класс NP-полных задач можно считать классом «скорее всего неподатливых» задач, так и класс P-полных задач, при сведении к NC, можно считать «скорее всего не параллелизуемым» или «скорее всего последовательным от природы».

Параллельный компьютер в определении можно считать параллельной машиной с произвольным доступом (PRAM — от англ. parallel, random-access machine). Это параллельный компьютер с центральным пулом памяти, любой процессор которого может получить доступ к любому биту за константное время. На определение NC не влияет способ, с помощью которого PRAM осуществляет одновременный доступ нескольких процессоров к одному биту.

NC может быть определён, как множество задач разрешимости, разрешимых распределённой Булевой схемой с полилогарифмической глубиной и полиномиальным числом вентилей.

NC включает в себя много задач, в том числе:

• Сложение, умножение и деление целых чисел;
• Умножение матриц, подсчет их ранга, детерминанта, обратной матрицы;
• Полиномиальный НОД;
• Нахождение максимального паросочетания.

Часто алгоритмы для этих задач придумывались отдельно и не могли быть наивной адаптацией известных алгоритмов — Метод Гаусса и алгоритм Евклида полагаются на то, что операции выполняются последовательно.

NCⁱ — это множество задач разрешимости, разрешимых распределенными булевыми схемами с полиномиальным количеством вентилей (с количеством входов, не большим двух) и глубиной ${\displaystyle O(\log ^{i}n)}$, или разрешимых за время ${\displaystyle O(\log ^{i}n)}$ параллельным компьютером с полиномиальным числом процессоров. Очевидно,

${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{1}\subseteq {\mathsf {NC}}^{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathsf {NC}}^{i}\subseteq \cdots {\mathsf {NC}},}$

что представляет собой NC-иерархию.

Мы можем связать классы NC с классами памяти L, NL^[6] и AC^[7]:

${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{1}\subseteq {\mathsf {L}}\subseteq {\mathsf {NL}}\subseteq {\mathsf {AC}}^{1}\subseteq {\mathsf {NC}}^{2}\subseteq {\mathsf {P}}.}$

Классы NC и AC одинаково определены, за исключением неограниченности количества входов у вентилей для класса AC. Для каждого ${\displaystyle i}$ верно^[5][7]:

${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{i}\subseteq {\mathsf {AC}}^{i}\subseteq {\mathsf {NC}}^{i+1}.}$

Следствием этого является NC = AC.^[8] Известно, что оба включения строгие для ${\displaystyle i=0}$.^[5] Похожим образом можем получить, что NC эквивалентен множеству задач, решаемых на переменной машине Тьюринга с числом выборов на каждом шаге не большим, чем двух, и с O(log n) памяти и ${\displaystyle (\log n)^{O(1)}}$ альтерациями.^[9]

Один из больших открытых вопросов теории сложности вычислений — является ли собственным каждое вложение NC-иерархии. Как было замечено Пападимитриу, если для какого-то ${\displaystyle i}$ верно NCⁱ = NCⁱ⁺¹, то NCⁱ = NC^j для всех ${\displaystyle j\geqslant i}$, и как следствие, NCⁱ = NC. Это наблюдение называется сворачиванием NC-иерархии, потому что даже из одного равенстве в цепи вложений:

${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{1}\subseteq {\mathsf {NC}}^{2}\subseteq \cdots }$

следует, что вся NC-иерархия «сворачивается» до какого-то уровня ${\displaystyle i}$. Таким образом, возможны два варианта:

1. ${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{1}\subset \cdots \subset {\mathsf {NC}}^{i}\subset \cdots \subset {\mathsf {NC}}^{i+j}\subset \cdots {\mathsf {NC}}}$
2. ${\displaystyle {\mathsf {NC}}^{1}\subset \cdots \subset {\mathsf {NC}}^{i}=\cdots ={\mathsf {NC}}^{i+j}=\cdots {\mathsf {NC}}.}$

Широко распространено мнение, что верно именно (1), хотя пока не обнаружено никаких доказательств в отношении истинности того или иного утверждения.

Ветвящаяся программа с ${\displaystyle n}$ переменными, шириной ${\displaystyle k}$ и длиной ${\displaystyle m}$ состоит из последовательности инструкций длины ${\displaystyle m}$. Каждая инструкция — это тройка ${\displaystyle (i,p,q)}$, где ${\displaystyle i}$ — это индекс переменной, которую нужно проверить ${\displaystyle (1\leq i\leq n)}$, а ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — это функции перестановки из ${\displaystyle \{1,2,...,k\}}$ в ${\displaystyle \{1,2,...,k\}}$. Числа ${\displaystyle 1,2,...,k}$ называются состояниями ветвящейся программы. Программа начинается в состоянии 1, и каждая инструкция ${\displaystyle (i,p,q)}$ изменяет состояние ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle p(x)}$ или ${\displaystyle q(x)}$, в зависимости от того, равна ли ${\displaystyle i}$-ая переменная 0 или 1.

Семейство ветвящихся программ состоит из ветвящихся программ с ${\displaystyle n}$ переменными для каждого ${\displaystyle n}$.

Легко показать, что любой язык ${\displaystyle L}$ на ${\displaystyle \{0,1\}}$ может быть распознан семейством ветвящихся программ с шириной 5 и экспоненциальной длиной, или семейством с экспоненциальной шириной и линейной длиной.

Каждый регулярный язык на ${\displaystyle \{0,1\}}$ может быть распознан семейством ветвящихся программ с константной шириной и линейным числом инструкций (так как ДКА может быть преобразован в ветвящуюся программу). BWBP обозначает класс языков, распознаваемых семейством ветвящихся программ с ограниченной шириной и полиномиальной длиной (англ BWBP — bounded width and polynomial length).^[10].

Теорема Баррингтона^[11] утверждает, что BWBP — это в точности нераспределенный NC¹. Доказательство теоремы использует неразрешимость группы симметрии ${\displaystyle S_{5}}$.^[10]

Докажем, что ветвящаяся программа (ВП) с константной шириной и полиномиальным размером может быть превращена в схему из NC¹.

От противного: пусть есть схема C из NC¹. Без ограничения общности, будем считать что в ней используются только вентили И и НЕ.

Определение: ВП называется ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющей булеву функцию ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle (\sigma -f)}$, если при ${\displaystyle f=0}$ она дает результат — тождественную перестановку, а при ${\displaystyle f=1}$ её результат — ${\displaystyle \sigma }$-перестановка. Так как наша схема C описывает какую-то булеву функцию ${\displaystyle f}$ и только её, можем взаимно заменять эти термины.

Для доказательства будем использовать две леммы:

Лемма 1: Если есть ВП, ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющая ${\displaystyle f}$, то существует и ВП, ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$-вычисляющая ${\displaystyle f}$ (то есть, равная ${\displaystyle id}$ при ${\displaystyle f=0}$, и равная ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$ при ${\displaystyle f=1}$.

Доказательство: так как ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$ — циклы, а любые два цикла являются сопряженными, то существует такая перестановка ${\displaystyle \pi }$, что ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$ = ${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$. Тогда домножим на ${\displaystyle \pi }$ перестановки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle q_{1}}$ из первой инструкции ВП слева (чтобы получить перестановки ${\displaystyle {\pi }p_{1}}$ и ${\displaystyle {\pi }q_{1}}$), а перестановки из последней инструкции домножим на ${\displaystyle \pi ^{-1}}$ справа (получим ${\displaystyle p_{n}\pi ^{-1}}$ и ${\displaystyle q_{n}\pi ^{-1}}$). Если до наших действий (без ограничения общности) ${\displaystyle {p_{1}}{p_{2}}...{p_{n}}}$ был равен ${\displaystyle id}$, то теперь результат будет ${\displaystyle {\pi }id{\pi }^{-1}=id}$, а если был равен ${\displaystyle \sigma }$, то результат равен ${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}=\sigma ^{-1}}$. Так, мы получили ВП, ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$-вычисляющую ${\displaystyle f}$, с той же длиной (количество инструкций не поменялось).

Примечание: если домножить вывод ВП ${\displaystyle (\sigma ^{-1}-f)}$ на ${\displaystyle \sigma }$ справа, то очевидным образом получим ВП, ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющую функцию ${\displaystyle {\neg }f}$.

Лемма 2: Если есть два ВП: ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющая ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \gamma }$-вычисляющая ${\displaystyle t}$ с длинами ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$, где ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \gamma }$ — 5-цикличные перестановки, то существует ВП с 5-цикличной перестановкой ${\displaystyle \varepsilon =\gamma \sigma \gamma ^{-1}\sigma ^{-1}}$ такая, что ВП ${\displaystyle \varepsilon }$-вычисляет${\displaystyle f{\wedge }t}$, и её размер не превосходит ${\displaystyle 2(l_{1}}$ + ${\displaystyle l_{2})}$.

Доказательство: Выложим «в ряд» инструкции четырёх ВП: ${\displaystyle (\gamma -t)}$, ${\displaystyle (\sigma -f)}$, ${\displaystyle (\gamma ^{-1}-t)}$, ${\displaystyle (\sigma ^{-1}-f)}$ (строим обратные по лемме 1). Если одна или обе функции выдают 0, то результат большой программы ${\displaystyle \varepsilon =id}$: например, при ${\displaystyle f=0,t=1,\varepsilon =id{\sigma }id{\sigma }^{-1}=id}$. Если обе функции выдают 1, то ${\displaystyle \varepsilon =\gamma \sigma \gamma ^{-1}\sigma ^{-1}}$. Здесь ${\displaystyle \gamma \sigma \gamma ^{-1}\sigma ^{-1}\neq id<=>\gamma \sigma \neq \sigma \gamma }$, что верно из-за того, что эти перестановки 5-цикличны (из-за неразрешимости группы симметрии ${\displaystyle S_{5}}$). Длина новой ВП высчитывается по определению.

${\displaystyle }$ Доказательство теоремы

Будем доказывать по индукции. Предположим, что у нас есть схема C с входами ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ и что для всех подсхем D и 5-цикличных перестановок ${\displaystyle \sigma }$ существует ВП, ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющая D. Покажем, что для всех 5-перестановок ${\displaystyle \sigma }$ существует ВП, ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющий C.

• Если схема C выдает ${\displaystyle x_{i}}$, то ВП имеет одну инструкцию: проверить значение ${\displaystyle x_{i}}$ (0 или 1), и отдать ${\displaystyle id}$ или ${\displaystyle \sigma }$ (соответственно).
• Если схема C выдает ${\displaystyle \neg }$A для какой-то другой схемы A, по примечанию к лемме 1 создадим ВП, ${\displaystyle \sigma }$-вычисляющую ${\displaystyle \neg }$A.
• Если схема C выдает A${\displaystyle \wedge }$B для схем A и B, создадим нужную ВП по лемме 2.

Размер итоговой ветвящейся программы не превосходит ${\displaystyle 4^{d}}$, где ${\displaystyle d}$ — это глубина схемы. Если у схемы логарифмическая глубина, то у ВП полиномиальная длина.

• Arora, Sanjeev. Computational complexity. A modern approach / Sanjeev Arora, Boaz Barak. — Cambridge University Press, 2009. — ISBN 978-0-521-42426-4.
• Clote, Peter. Boolean functions and computation models / Peter Clote, Evangelos Kranakis. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-59436-1.
• Greenlaw, Raymond, James Hoover, and Walter Ruzzo. Limits To Parallel computation; P-Completeness Theory. Архивная копия от 4 июня 2013 на Wayback Machine ISBN 0-19-508591-4
• Kozen, Dexter C. The design and analysis of algorithms. — 1992. Lectures 28 — 34 and 36
• Kozen, Dexter C. Theory of Computation. — Springer-Verlag, 2006. — ISBN 1-84628-297-7. Lecture 12: Relation of NC to Time-Space Classes
• Papadimitriou, Christos. Section 15.3: The class NC // Computational Complexity. — 1st. — Addison Wesley, 1993. — P. 375–381. — ISBN 0-201-53082-1.
• Straubing, Howard. Finite automata, formal logic, and circuit complexity. — Basel : Birkhäuser, 1994. — ISBN 3-7643-3719-2.
• Vollmer, Heribert. Introduction to circuit complexity. A uniform approach. — Berlin : Springer-Verlag, 1998. — ISBN 3-540-64310-9.