Beselova funkcija

Beselove funkcije, koje je prvi definisao matematičar Danijel Bernuli i generalizovao Fridrih Besel, su kanonska rešenja y(x) Beselove diferencijalne jednačine:

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0

za proizvoljan realan ili kompleksan broj α (predstavlja „red“ Beselove funkcije). Najinteresantnije su one Beselove funkcije za koje je α ceo broj n.

Iako α i −α daju istu diferencijalnu jednačinu, uobičajena je praksa da se definišu različite Beselove funkcije za ova dva reda. Beselove funkcije su još poznate pod imenima „cilindrične funkcije“ ili „cilindrični harmonici“, jer ih nalazimo u rešenju Laplasove jednačine u cilindričnim koordinatama.

Definicija

S obzirom da je u pitanju diferencijalna jednačina drugog reda, ona mora imati dva linearno nezavisna rešenja. Zavisno od okolnosti, ova rešenja se iskazuju na različite načine, što je izloženo u daljem tekstu.

Beselove funkcije prve vrste : J_α

Beselove funkcije prve vrste, koje se označavaju sa $J_{\alpha }(x)$ , su rešenja Beselove diferencijalne jednačine koja su konačna u koordintnom početku ( $x=0$ ) za nenegativne celobrojne vrednosti $\alpha$ , dok su beskonačna kada $x$ teži nuli za negativne ne-celobrojne vrednosti $\alpha$ . Tip rešenja (npr. celobrojna ili ne-celobrojna) i normalizacija $J_{\alpha }(x)$ su definisani osobinama Beselove funkcije. Moguće je definisati funkciju preko njenog razvoja u Tejlorov red u blizini tačke $x=0$ :

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }

gde je $\Gamma (z)$ gama funkcija, generalizacija faktorijela na skup realnih brojeva. Grafici Beselovih funkcija izgledaju slično sinusoidama koje opadaju u intenzitetu proporcionalno 1/√x, iako njihova rešenja u principu nisu periodična, osim asimptotski za velike vrednosti x.

Za α koje nije ceo broj, funkcije $J_{\alpha }(x)$ i $J_{-\alpha }(x)$ su nezavisne, i stoga predstavljaju dva rešenja diferencijalne jednačine. S druge strane, za celobrojne redove $\alpha$ važi (primetite da gama funkcija postaje beskonačna za argumente koji su negativni celi brojevi):

J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,

To znači da rešenja nisu više nezavisna. U ovom slučaju drugo linearno nezavisno rešenje je Beselova funkcija druge vrste.

Beselovi integrali

Alternativnu definiciju Beselove funkcije, za celobrojne vrednosti $n$ , moguće je izraziti u obliku integrala:

J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .

Ovaj pristup je koristio i sam Besel, i iz ove definicije je izveo neke osobine funkcije. Definicija se može uopštiti na bilo koju realnu vrednost reda dodavanjem novog člana

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}dt.

Postoji i sledeća celobrojna definicija:

J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .

Beselove funkcije druge vrste : Y_α

Beselove funkcije druge vrste, koje se označavaju sa Y_α(x), su rešenja Beselove diferencijalne jednačine. Ona imaju singularitet (beskonačna su) u koordinatnom početku (x = 0).

Y_α(x) se ponekad naziva i Nojmanova funkcija, koja se označava sa N_α(x). Za realni broj α, odgovarajuća funkcija J_α(x) glasi:

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.

Za celobrojni red n, funkcija se definiše kao limes kada α teži ka n:

Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x)

Rezultat u celobrojnom obliku glasi:

Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}dt.

Za realno α, definicija Y_α(x) je bespotrebna (što se vidi iz definicije). Nasuprot tome, kada je α ceo broj, Y_α(x) je drugo linearno nezavisno rešenje Beselove jednačine. Štaviše, slično funkcijama prve vrste, važi sledeća jednakost: