Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru.[1] U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi[2]
Definicija
Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta prave koja ih povezuje
.
U Kartezijevim koordinatama, ako su
i
dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:
Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:
![{\displaystyle \left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6127241aab8857d11f67bf9f88c23033e5852ec2)
Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:
![{\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda8f705f247ef44ccd6a8e0816eefb889f8a842)
U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je
ili
![{\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95db6f6d65948f1d0086ac0f6f59a22a92627334)
Jednodimenzionalna udaljenost
u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je
![{\displaystyle {\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40acb4e3dca881674b97303ffabfae6f28e3952e)
Dvodimenzionalna udaljenost
Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:
Dužina horizontalne linije je kateta:
[2]
Dužina vertikalne linije je kateta:
[2]
Prema tome udaljenost je hipotenuza:
[2]
Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost.[2]
Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda
![{\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c749e7296a1a2521e0f8b91a4078b8128c54e465)
Trodimenzionalna udaljenost
U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je
![{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac3db386a2e5f8ed33e4d217ede2275f428e4a1)
n - domenzionalna udaljenost
U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je
![{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ef4fe055b2a51b4cca43a05e5d1cd93f758dcc)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
Kvadrat Euklidske udaljenosti
Kvadrat Euklidske udaljenosti je
![{\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16586276b11fed708c59ddb10d4c23940f4e4ab5)
Izvor
Cluster Analysis /March 2, 2011.
Reference
- ↑ [https://web.archive.org/web/20160305035105/http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?ID=644 Arhivirano 2016-03-05 na Wayback Machine-u Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, njem.] učitano 01.01.2014
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, Arhivirano 2013-06-21 na Wayback Machine-unjem. učitano 01.01.2014. (Napomena: x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.)