Mandelbrotov skup
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg/350px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg)
Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.
Konstrukcija
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Mandelbrot_and_Julia.png/200px-Mandelbrot_and_Julia.png)
U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.
Svojstva
Osnovna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Mandelset_hires.png/200px-Mandelset_hires.png)
Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi za sve . Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost za neki veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako
Samosličnost
Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).
Atraktori perioda-n
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Mandelbrot_bulbs.jpg/200px-Mandelbrot_bulbs.jpg)
Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, . Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":
Galerija uvećavanja
Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.
![]() | ![]() I | ![]() II | ![]() III | ![]() IV |
![]() V | ![]() VI | ![]() VII | ![]() VIII | ![]() IX |
![]() X | ![]() XI | ![]() XII | ![]() XII | ![]() XIV |
Varijacije
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Mandelbrot3_4.jpg/200px-Mandelbrot3_4.jpg)
Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.
Vanjske veze
- "Mandelbrot set - The most advanced online generator"
Vidi još
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png)
- Fraktali
- Julijin skup
- Gorući brod (fraktal)