Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:
Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:
Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.
Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora
Skalarni proizvod vektora i se definiše na sledeći način:
Pri tom su i intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:
i
Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:
Sadržaj
1Dokaz
2Ortogonalni vektori
3Osobine
4Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora
5Primena u fizici
6Geometrijska interpretacija
7Povezano
8Literatura
Dokaz
Formula : se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:
Ako je , ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:
Pošto je jednak , sledi:
Odakle se nalazi:
Odatle se dobija konačna formula:
Ortogonalni vektori
Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori i uzajamno normalni dobija se:
.
Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.
Osobine
Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:
komutativnost
distributivan je u odnosu na sabiranje
u opštem slučaju nije asocijativan
za njega važi sledeće:
Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora
Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.
Pošto je:
Za specijalan slučaj kada je jednakost prelazi u:
Na osnovu toga se zaključuje:
Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.
Primena u fizici
Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:
Geometrijska interpretacija
Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.
Povezano
Vektor
Skalar
Vektorski proizvod vektora
Mešoviti proizvod vektora
Literatura
Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd