Carlesonmått

Carlesonmått är inom matematik ett mått som är av betydelse i harmonisk analys. Carlesonmåttet är uppkallat efter Lennart Carleson, som definierade måttet för att bevisa koronasatsen.

Definition

Carlesonmåttet är ett mått för att mäta storleken av en domäns rand i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Mer precist, låt ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ vara en öppen mängd vars rand ${\displaystyle \partial D\neq \varnothing \,}$. Ett Borelmått ${\displaystyle \mu \,}$ till ${\displaystyle D\,}$ är ett Carlesonmått om det finns ${\displaystyle c>0\,}$ så att för alla ${\displaystyle x\in \partial D\,}$ och ${\displaystyle r>0\,}$

${\displaystyle \mu (D\cap B_{r}(x))\leq c{\mathcal {H}}^{n-1}(\partial D\cap B_{r}(x))}$,

där ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ är det n-1-dimensionella Hausdorffmåttet och ${\displaystyle B_{r}(x)}$ är bollen med mittpunkt x och radie r.

Ett n-1-dimensionellt Hausdorffmått är det mest naturliga måttet här eftersom det i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mäter randens storlek.

Referenser

• Lennart Carleson (1962). ”Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem”. Ann. of Math 76: sid. 547-559. ISSN: 0003-486X.