Kubisk reciprocitet

Inom elementär och algebraisk talteori är kubisk reciprocitet en samling satser om lösbarheten av kongruensen x3 ≡ p (mod q); ordet "reciprocitet" kommer från den viktigaste satsen, som säger att om p och q är primtal i ringen av Eisensteinheltal, båda relativt prima till 3, är

kongruensen x3 ≡ p (mod q) lösbar om och bara om x3 ≡ q (mod p) är.

Heltal

En kubisk rest (mod p) är ett godtyckligt tal som är en tredje potens av ett heltal (mod p). Om x3 ≡ a (mod p) saknar heltalslösningar kallas a för en kubisk ickerest (mod p).[1]

Såsom ofta inom talteori är det enklast att arbeta med primtal, så i denna sektion är alla p, q, etcetera positiva udda primtal.[1]

Det första att notera då man arbetar med ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 2 (mod 3) varje tal en kubisk rest (mod q). Låt q = 3n + 2; eftersom 0 = 03 är en kubisk rest, anta att x inte är delbar med q. Då är enligt Fermats lilla sats

x q = x 3 n + 2 ≡ x ( mod q )  and  x q − 1 = x 3 n + 1 ≡ 1 ( mod q ) ,  så  {\displaystyle x^{q}=x^{3n+2}\equiv x{\pmod {q}}\;{\mbox{ and }}\;x^{q-1}=x^{3n+1}\equiv 1{\pmod {q}},{\mbox{ så }}}
x = 1 ⋅ x ≡ x q x q − 1 = x 3 n + 2 x 3 n + 1 = x 6 n + 3 = ( x 2 n + 1 ) 3 ( mod q ) {\displaystyle x=1\cdot x\equiv x^{q}x^{q-1}=x^{3n+2}x^{3n+1}=x^{6n+3}=(x^{2n+1})^{3}{\pmod {q}}}

är en kubisk rest (mod q).

Härmed är det enda intressanta fallet det då p ≡ 1 (mod 3).

Euler

För relativt prima heltal m och n, definiera den rationella kubiska restsymbolen som

[ m n ] 3 = { + 1  om  m  är en kubisk rest  ( mod n ) − 1  om  m  är en kubisk ickerest  ( mod n ) . {\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}&+1{\mbox{ om }}m{\mbox{ är en kubisk rest }}{\pmod {n}}\\&-1{\mbox{ om }}m{\mbox{ är en kubisk ickerest }}{\pmod {n}}\end{cases}}.}

En sats av Fermat[2][3] säger att varje primtal p ≡ 1 (mod 3) är summan av en kvadrat och tre gånger en kvadrat: p = a2 + 3b2 och att (förutom tecknen a och b) är denna representation unik.

Baserat på detta gjorde Euler[4][5] följande förmodanden:

[ 2 p ] 3 = 1  om och bara om 3 | b [ 3 p ] 3 = 1  om och bara om 9 | b ;  eller  9 | ( a ± b ) [ 5 p ] 3 = 1  om och bara om  15 | b ;  eller  3 | b  and  5 | a ;  or  15 | ( a ± b ) ;  or  15 | ( 2 a ± b ) [ 6 p ] 3 = 1  om och bara om  9 | b ;  eller  9 | ( a ± 2 b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1&{\mbox{ om och bara om}}3|b\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1&{\mbox{ om och bara om}}9|b;{\mbox{ eller }}9|(a\pm b)\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1&{\mbox{ om och bara om }}15|b;{\mbox{ eller }}3|b{\mbox{ and }}5|a;{\mbox{ or }}15|(a\pm b);{\mbox{ or }}15|(2a\pm b)\\\left[{\frac {6}{p}}\right]_{3}=1&{\mbox{ om och bara om }}9|b;{\mbox{ eller }}9|(a\pm 2b)\\\end{aligned}}.}

Gauss

Gauss[6][7] bevisade att om    p = 3 n + 1 = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) , {\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),}   är    L ( n ! ) 3 ≡ 1 ( mod p ) , {\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\pmod {p}},}    från vilket   [ L p ] 3 = [ M p ] 3 = 1 {\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\frac {M}{p}}\right]_{3}=1} följer ganska lätt.

Se även

  • Kvadratiska reciprocitetssatsen
  • Kvartisk reciprocitet
  • Oktisk reciprocitet
  • Eisensteinreciprocitet
  • Artinreciprocitet

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cubic reciprocity, 24 april 2014.
  1. ^ [a b] cf. Gauss, BQ § 2
  2. ^ Gauss, DA, Art. 182
  3. ^ Cox, Ex. 1.4–1.5
  4. ^ Euler, Tractatus, §§ 407–401
  5. ^ Lemmermeyer, p. 222–223
  6. ^ Gauss, DA footnote to art. 358
  7. ^ Lemmermeyer, Ex. 7.9

Externa länkar

  • Weisstein, Eric W., "Cubic Reciprocity Theorem", MathWorld. (engelska)