Figur 1. L'Huiliers sats är en sats inom den sfäriska trigonometrin som säger att det sfäriska överskottet E = α + β + γ − π {\displaystyle E=\alpha +\beta +\gamma -\pi } (beteckningar enligt figur 1) för en sfärisk triangel på en enhetssfär är:[ 1]
tan E 4 = tan s 2 ⋅ tan s − a 2 ⋅ tan s − b 2 ⋅ tan s − c 2 {\displaystyle \tan {E \over 4}={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\cdot \tan {\frac {s-a}{2}}\cdot \tan {\frac {s-b}{2}}\cdot \tan {\frac {s-c}{2}}}}} där
s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} är triangelns semiperimeter (halva omkrets).
Förhållandet, med vars hjälp man kan beräkna en sfärisk triangels area direkt ur dess sidlängder, upptäcktes av den schweiziske matematikern Simon Antoine Jean L'Huilier .
Ett liknande förhållande ges av Cagnolis sats [ 2] (uppkallad efter den italienske astronomen och matematikern Antonio Cagnoli)
sin E 2 = sin s ⋅ sin ( s − a ) ⋅ sin ( s − b ) ⋅ sin ( s − c ) 2 ⋅ cos a 2 ⋅ cos b 2 ⋅ cos c 2 {\displaystyle \sin {\frac {E}{2}}={\frac {\sqrt {\sin s\cdot \sin(s-a)\cdot \sin(s-b)\cdot \sin(s-c)}}{2\cdot \cos {\frac {a}{2}}\cdot \cos {\frac {b}{2}}\cdot \cos {\frac {c}{2}}}}}
Härledning Vi utnyttjar att vi från den plana trigonometrin har
sin x − sin y cos x + cos y = 2 cos x + y 2 ⋅ 2 sin x − y 2 2 cos x + y 2 ⋅ 2 cos x − y 2 = sin x − y 2 cos x − y 2 {\displaystyle {\frac {\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}}={\frac {2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot 2\sin {\frac {x-y}{2}}}{2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot 2\cos {\frac {x-y}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {x-y}{2}}}{\cos {\frac {x-y}{2}}}}} och med x = α + β {\displaystyle x=\alpha +\beta } och med y = π − γ {\displaystyle y=\pi -\gamma } får vi därför i andra steget: tan E 4 = tan α + β + γ − π 4 = = sin α + β + γ − π 4 cos α + β + γ − π 4 = = sin α + β 2 − sin π − γ 2 cos α + β 2 + cos π − γ 2 = = sin α + β 2 − cos γ 2 cos α + β 2 + sin γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&=\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta +\gamma -\pi }{4}}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}-\sin {\frac {\pi -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}+\cos {\frac {\pi -\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}-\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}}}\end{aligned}}} Med hjälp av två av Delambres analogier
sin α + β 2 cos γ 2 = cos a − b 2 cos c 2 ⇔ sin α + β 2 = cos a − b 2 cos γ 2 cos c 2 {\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\Leftrightarrow \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}} och cos α + β 2 sin γ 2 = cos a + b 2 cos c 2 ⇔ cos α + β 2 = cos a + b 2 sin γ 2 cos c 2 {\displaystyle {\frac {\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}\Leftrightarrow \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}} får vi tan E 4 = cos a − b 2 ⋅ cos γ 2 cos c 2 − cos γ 2 cos a + b 2 ⋅ sin γ 2 cos c 2 + sin γ 2 = = cos a − b 2 cos γ 2 − cos c 2 ⋅ cos γ 2 cos a + b 2 sin γ 2 + cos c 2 ⋅ sin γ 2 = = cos a − b 2 − cos c 2 cos a + b 2 + cos c 2 ⋅ cos γ 2 sin γ 2 = sin a − b + c 4 ⋅ sin c − a + b 4 cos a + b + c 4 ⋅ cos a + b − c 4 ⋅ cot γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&={\frac {{\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}-\cos {\frac {\gamma }{2}}}{{\frac {\cos {\frac {a+b}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {c}{2}}}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-\cos {\frac {c}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+\cos {\frac {c}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}}}=\\&={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}-\cos {\frac {c}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}+\cos {\frac {c}{2}}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}\\&={\frac {\sin {\frac {a-b+c}{4}}\cdot \sin {\frac {c-a+b}{4}}}{\cos {\frac {a+b+c}{4}}\cdot \cos {\frac {a+b-c}{4}}}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}} Där vi i sista steget utnyttjade cos x − cos y = − sin x + y 2 ⋅ sin x − y 2 = sin x + y 2 ⋅ sin y − x 2 {\displaystyle \cos x-\cos y=-\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}=\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {y-x}{2}}} och cos x + cos y = cos x + y 2 ⋅ cos x − y 2 {\displaystyle \cos x+\cos y=\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}} .
Vi inför nu s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} och tar hjälp av den sfäriska formeln för cotangens för halva vinkeln , cot γ 2 = sin s ⋅ sin ( s − c ) sin ( s − a ) ⋅ sin ( s − b ) {\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\cdot \sin(s-c)}{\sin(s-a)\cdot \sin(s-b)}}}} och sedan av den plantrigonometriska sin x = 2 sin x 2 cos x 2 {\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} , vilket ger
tan E 4 = sin s − b 2 ⋅ sin s − a 2 cos s 2 ⋅ cos s − c 2 ⋅ sin s ⋅ sin ( s − c ) sin ( s − a ) ⋅ sin ( s − b ) = = sin s − b 2 ⋅ sin s − a 2 cos s 2 ⋅ cos s − c 2 ⋅ 2 sin s 2 ⋅ cos s 2 ⋅ 2 sin s − c 2 ⋅ cos s − c 2 2 sin s − a 2 ⋅ cos s − a 2 ⋅ 2 sin s − b 2 ⋅ cos s − b 2 = = sin 2 s − b 2 ⋅ sin 2 s − a 2 ⋅ sin s 2 ⋅ cos s 2 ⋅ sin s − c 2 ⋅ cos s − c 2 cos 2 s 2 ⋅ cos 2 s − c 2 ⋅ sin s − a 2 ⋅ cos s − a 2 ⋅ sin s − b 2 ⋅ cos s − b 2 = = sin s 2 ⋅ sin s − a 2 ⋅ sin s − b 2 ⋅ sin s − c 2 cos s 2 ⋅ cos s − a 2 ⋅ cos s − b 2 ⋅ cos s − c 2 = = tan s 2 ⋅ tan s − a 2 ⋅ tan s − b 2 ⋅ tan s − c 2 Q . E . D . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {E}{4}}&={\frac {\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {\sin s\cdot \sin(s-c)}{\sin(s-a)\cdot \sin(s-b)}}}=\\&={\frac {\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}\cdot {\sqrt {\frac {2\sin {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s}{2}}\cdot 2\sin {\frac {s-c}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}{2\sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot 2\sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\frac {\sin ^{2}{\frac {s-b}{2}}\cdot \sin ^{2}{\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s}{2}}\cdot \sin {\frac {s-c}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {s}{2}}\cdot \cos ^{2}{\frac {s-c}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\frac {\sin {\frac {s}{2}}\cdot \sin {\frac {s-a}{2}}\cdot \sin {\frac {s-b}{2}}\cdot \sin {\frac {s-c}{2}}}{\cos {\frac {s}{2}}\cdot \cos {\frac {s-a}{2}}\cdot \cos {\frac {s-b}{2}}\cdot \cos {\frac {s-c}{2}}}}}=\\&={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\cdot \tan {\frac {s-a}{2}}\cdot \tan {\frac {s-b}{2}}\cdot \tan {\frac {s-c}{2}}}}\qquad Q.E.D.\end{aligned}}}
Referenser Isaac Todhunter, 1886, Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools , Macmillan & Co. Faksimil PDF (3 MB), TeX PDF (789 kB). 1883 års upplaga online på Google Books. L'Huiliers sats behandlas i artikel 102 på sid.70. John Casey, 1889, A Treatise on Spherical Trigonometry, and Its Application to Geodesy and Astronomy, with Numerous Examples , Dublin, Hodges, Figgis, & co. Online på Archive.org. PDF (5,5 MB). Se artiklarna 46-48, sid. 43-44 och kapitel 5, sid. 85 ff. ^ Eric W. Weisstein, L'Huiliers Theorem på Wolfram MathWorld. ^ Todhunter (1886), artikel 101, sid. 70.