Legendres trekvadraterssats

Inom matematiken är Legendres trekvadraterssats en sats som säger att varje naturligt tal som inte är av formen ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$ för heltal a och b kan skrivas som summan av tre kvadrater:

${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}\ }$

Satsen framlades av Adrien-Marie Legendre 1798.^[1] Hans bevis var dock ofullständigt, och korrigerades senare av Carl Friedrich Gauss.^[2] Satsen leder till ett enkelt bevis av Lagranges fyrakvadraterssats, som säger att varje naturligt tal kan skrivas som summan av fyra kvadrater. Låt n vara ett naturligt tal. Då finns det två fall:^[3]

• antingen är n inte av formen ${\displaystyle 4^{a}(8b+7)}$ och är härmed summan av tre kvadrater och alltså även av fyra kvadrater enligt ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}+0}$ för några x, y, z;
• eller ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)=(2^{a})^{2}((8b+6)+1)}$, där ${\displaystyle 8b+6=2(4b+3)}$, som är summan av tre kvadrater enligt trekvadraterssatsen, så n är summan av fyra kvadrater.

• Fermats tvåkvadraterssats
• Lagranges fyrakvadraterssats

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Legendre's three-square theorem, 13 mars 2014.