Inom matematiken sägs en följd av funktioner
konvergera likformigt mot en funktion
på en mängd
om följande villkor uppfylls:
- För varje
finns ett
så att för alla
gäller att
implicerar ![{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67388ed2f27e770b64369b86c0295838e89b335)
Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:
- För varje
och
så finns ett
så att
medför att![{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67388ed2f27e770b64369b86c0295838e89b335)
Exempel
- Följden
konvergerar likformigt mot
på
. - Följden
konvergerar mot
för alla
i
, men inte likformigt - Följden
konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen
på intervallet
där
är funktionen som har värdet
i punkten
och värdet
annars.
Egenskaper
Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion
som är gränsvärdet av en följd
utifrån egenskaper hos funktionerna
. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje
kontinuerlig medan gränsfunktionen,
, är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.
Att en funktionsföljd
konvergerar punktvis mot en funktion
är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis
. Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:
,
vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen
och sedan kontrollera gränsvärdet:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=\lim _{n\to \infty }\sup _{t}|f_{n}(t)-f(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de4c0bff41dfaa9c0f1a7dc226121ba6a495685)
som ska vara
om vi har likformig konvergensen.
Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.
Gränsövergång under integraltecknet
Om vi har en funktionsföljd
som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}\left(\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97568f67e2399a061c08b12dee7a97f3503c218)
Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet
Bevis
Låt oss teckna
. Vidare ger oss kravet på likformighet att:
då
och ![{\displaystyle n\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b67a4f8e2ce89617f08316bfdcc6f33887b5629)
Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-\int _{a}^{b}f(x)dx\right|=\left|\int _{a}^{b}\left(f_{n}(x)-f(x)\right)dx\right|\leq \left\{{\mbox{ triangelolikheten }}\right\}\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862d45af7f5e4f2482fc538727f1ea46d5189959)
då ![{\displaystyle n\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b67a4f8e2ce89617f08316bfdcc6f33887b5629)
Vilket bekräftar vår tes
Funktionsserie
Vi kan även betrakta en funktionsserie
där
och
som konvergerar likformigt då
där
är konvergensområdet. Med denna notation fås att:
![{\displaystyle \int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5c14bcf1ec9dc1c16d09024aaa86a3114ebdd5)
Bevis
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}s_{n}(x)dx={\mbox{ situationen som ovan }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c839f5a9f2325f3b8550a96f3ff2748db16bc303)
![{\displaystyle =\int _{I}\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)dx=\int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2744c5708f1dc80a24b13c5919e62a0357a03ede)
Vilket skulle visas.