Pochhammersymbolen
Pochhammersymbolen är en speciell funktion som används inom kombinatorik och teorin för den hypergeometriska funktionen. Namnet kommer från den tyske matematikern Leo August Pochhammer.[1]
Notation
Flera beteckningar används för pochhammersymbolen:
- (speciellt inom kombinatorik)
- , (analys, speciella funktioner)
Inom teorin för speciella funktioner avses med
den "stigande fakulteten"[2]
- ,
medan denna beteckning inom kombinatoriken avser den "fallande fakulteten"[2]
- .
För att undvika sammanblandning används ofta för den stigande och för den fallande funktionen. Därutöver har ytterligare en ny beteckning införts av Ronald Graham, Donald Knuth och Oren Patashnik i boken Concrete Mathematics.
För den "stigande fakulteten" används , och för den fallande .
De fallande fakulteterna har inom differenskalkyl liknande egenskaper som potenser inom differentialkalkyl och kan användas för beräkning av serier.
Definition som speciell funktion
Pochhammersymbolen definieras i allmänhet med gammafunktionen:
För naturliga tal gäller härvid:
Egenskaper
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Pochhammer.svg/250px-Pochhammer.svg.png)
- Pochammersymbolen är en meromorf funktion
- De stigande och fallande fakulteterna kan användas för att uttrycka en binomialkoefficient:
- och
- Härigenom kan många likheter som gäller för binomialkoefficienter föras över till stigande och fallande fakulteter.
- En stigande fakultet kan uttryckas som en fallande som börjar "i andra änden"
- eller som en fallande fakultet med motsatt argument
- Om , så kan uttryckas som polynom i x. Dessa har ett gemensamt nollställe i .
- Samband mellan koeffecienter med olika förtecken
- Divisionsregler
- Speciella värden
Referenser
- ^ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, sid. 76–159, 1888; speciellt sid. 80–81 där symbolen introduceras. Pochhammer använde beteckningarna för Binomialkoefficienter, för den "fallande fakulteten" och för den "stigande fakulteten".
- ^ [a b] I analogi med engelska "falling/rising factorials" och tyska "fallende/steigende Faktorielle/Fakultät". Vid Umeå Universitet har uttrycket "fallande produkt" använts i kursmaterial (se "Kombinatorikkompendium").
Externa länkar
Rickard Edman och Markus Östberg, 2011, Г-funktionen, En kort introduktion, C-uppsats, Örebro universitet, sid. 24-25.