Somos konstant

Inom matematiken är Somos konstant, uppkallad efter Michael Somos, en matematisk konstant som definieras som

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3\cdots }}}}}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\cdots .\,}$

Detta kan lätt skrivas i den snabbare konvergerande formen

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{2}/\sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\cdots .}$

Konstanten dyker upp då man undersöker tillväxten av sekvensen

${\displaystyle g_{0}=1\,;\,g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n>1,\,}$

vars första termer är 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, … (talföljd A052129 i OEIS). Man kan visa att sekvensen växer som^[1]

${\displaystyle g_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2^{n}}}{n+2+O({\frac {1}{n}})}}.}$

Guillera och Sondow ger en representation med hjälp av derivatan av Lerchs transcendent:

${\displaystyle \ln \sigma ={\frac {-1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\left({\frac {1}{2}},0,1\right).}$

En snabbare konvergerande serie ges av

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}\ln(k+1).}$

Konstantens approximativa värde är

${\displaystyle \sigma =1.661687949633594121296\dots \;}$ (talföljd A112302 i OEIS).

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Somos' quadratic recurrence constant, 27 december 2013.

• Steven R. Finch, Mathematical Constants (2003), Cambridge University Press, p. 446. ISBN 0-521-81805-2.
• Jesus Guillera and Jonathan Sondow, "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent", Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270 (Provides an integral and a series representation). arXiv:math/0506319