Cauchy integral teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Cauchy integral teoremi: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman :${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$ eşitliği vardır.

Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

U 'nun basit bağlantılı olması koşulu kabaca U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla anlatılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, ${\displaystyle U=\{z:|z-z_{0}|<r\}}$ açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$

düşünüldüğünde,

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve tabi holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a)}$

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

Cauchy integral teoremi, Green teoremi ile kanıtlanabilir. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız yetecektir. ${\displaystyle \gamma }$ kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kümesinin alt kümesi olsun. ${\displaystyle f}$ fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı bölgenin tümünde holomorf olsun. ${\displaystyle z=x+iy}$ ise, kompleks diferansiyeli ${\displaystyle dz=dx+idy}$ olur. Fonksiyonu da gerçel ve sanal kısımlarının toplamı şeklinde yazalım: ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$.

Bu durumda

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz}$${\displaystyle =\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+idy)=\oint _{\gamma }(udx-vdy)+i\oint _{\gamma }(vdx+udy)}$ olacaktır.

Green teoremi kullanarak

${\displaystyle \oint _{\gamma }(udx-vdy)=\iint \limits _{D}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dxdy}$

${\displaystyle \oint _{\gamma }(vdx+udy)=\iint \limits _{D}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dxdy}$

yazılabilir.

Cauchy-Riemann denklemleriyle ${\displaystyle \left({\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}{\text{ ve }}{\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}\right)}$ teorem kanıtlanacaktır.

${\displaystyle \iint \limits _{D}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dxdy=\iint \limits _{D}\left({\partial u \over \partial y}-{\partial u \over \partial y}\right)dxdy=0}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dxdy=\iint \limits _{D}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial u \over \partial x}\right)dxdy=0.}$

Sonuç olarak, ${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0.}$

• Cauchy-Riemann denklemleri
• Cauchy integral formülü
• Morera teoremi
• Kontür integrali metotları
• Kalıntı (karmaşık analiz)

• http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'deki ilgili sayfa.
• Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 15 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.