Định lý Heine–Borel
Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:
Đối với một tập con A trong không gian Euclide , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:
- A là tập đóng và bị chặn.
- Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là compact.
Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:
- Một tập con của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn.
Chứng minh
Giả sử compact. Vì là không gian Hausdorff nên đóng. Lấy một họ
các phủ mở của . Vì compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có sao cho . Nên, với hai điểm bất kỳ và của , ta có . Vậy bị chặn.
Ngược lại, nếu đóng và bị chặn, giả sử với mọi . Cố định một điểm của , đặt . Khi đó, với mọi thì
- .
Đặt , thì là tập con của , là tập compact. Vì đóng nên cũng compact.
Tham khảo
- James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.
Tham khảo
Liên kết ngoài
- Bổ đề HAINƠ - BÔREN tại Từ điển bách khoa Việt Nam
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
|