Định lý Hopf–Rinow

Định lý Hopf–Rinow là một tập hợp các phát biểu về tính đầy trắc địa của các đa tạp Riemann. Nó được đặt theo tên của Heinz Hopf và sinh viên Willi Rinow, người đã xuất bản nó vào năm 1931.^[1]

Phát biểu

Đặt (M,g) là một đa tạp Riemann liên thông. Các khẳng định sau là tương đương:

Với mọi p trong M, ánh xạ mũ exp_p được xác định trên toàn bộ không gian tiếp tuyến T_pM;
Tồn tại p trong M sao cho ánh xạ mũ exp_p được xác định trên toàn bộ không gian tiếp tuyến T_pM;
M là một không gian metric đầy;
Các tập con đóng và bị chặn của M là compact;

^[2]

Nếu M là một không gian thỏa mãn các khẳng định trên, ta gọi M là một không gian đầy trắc địa.

Nếu M là một không gian đầy trắc địa, giữa hai điểm bất kỳ p và q thuộc M, tồn tại một đường trắc địa tối thiểu khoảng cách nối hai điểm này (các đường trắc địa nói chung là cực điểm của phiếm hàm khoảng cách, và có thể là cực đại hoặc cực tiểu; nếu M là một không gian đầy trắc địa, ta khẳng định tồn tại một đường trắc địa cực tiểu).

Chú thích

^ Hopf, H.; Rinow, W. (1931). “Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche”. Commentarii Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. doi:10.1007/BF01601813.
^ Đoàn Quỳnh (2000), tr. 345

Tham khảo

Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân
Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Hopf-Rinow theorem”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Jürgen Jost (ngày 28 tháng 7 năm 2011). Riemannian Geometry and Geometric Analysis (6th Ed.). Universitext. Springer Science & Business Media. doi:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21298-7. Xem Section 1.7.
Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X, Xem Theorem 6.13.