Brakistokroniongelman ratkaisu maapallon pinnalla (keskimmäisenä vasemmalta lähtevä punainen käyrä) ei ole jana tai janojen yhdistelmä vaan sykloidi.
Fysiikassa ja matematiikassa brakistokroni (kreikk. βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos), lyhyin aika) on tason käyrä, jota pitkin liikkuva kappale kulkee kahden pisteen välisen matkan lyhyimmässä ajassa. Oletuksena on, että kappale joutuu kulkemaan tietyn voiman (esimerkiksi painovoima) vaikutuksessa.[1][2]
Kysymystä siitä, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleelta kuluu vähiten aikaa kahden pisteen välillä, sanotaan brakistokroniongelmaksi. Vakiovoiman vaikutuksessa liikkuvan kappaleen brakistokroniongelman ratkaisi ensimmäisenä Johann Bernoulli vuonna 1696.[3][2]
Sisällys
1Brakistokroniongelma gravitaatiokentässä
1.1Sykloidi
2Katso myös
3Lähteet
4Aiheesta muualla
Brakistokroniongelma gravitaatiokentässä
Brakistokroniongelma: millainen käyrä yhdistää pisteet ja siten, että kappaleelta kuluu mahdollisimman vähän aikaa pisteiden välillä?
Tarkastellaan -massaista kappaletta, joka sijaitsee aloitushetkellä levossa pisteessä . Kappaleeseen vaikuttaa jokaisella ajanhetkellä gravitaatiovoima , missä on gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys (vektori). Kaikki vastusvoimat oletetaan merkityksettömän pieniksi. Pyritään selvittämään, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleella kuluu lyhyin aika päästä pisteeseen (joka oletettavasti ei sijaitse suoraan pisteen ''alla''). Ratkaisun saavuttaminen vaatii hiukan variaatiolaskentaa.
Kiinnitetään tarkastelua varten kaksiulotteinen koordinaatisto. Voidaan olettaa, että origo sijaitsee pisteessä ja että gravitaatiovoima on -akselin suuntainen. Ts.
Koska gravitaatiokenttä on konservatiivinen, pätee jokaisella ajanhetkellä , missä on kappaleen kineettinen energia ja on potentiaalienergia. Määritellään potentiaalienergian nollatasoksi -akseli, ts. . Koska kappale lähtee levosta, on koko ajan . Kappaleen kineettinen energia on ja potentiaalienergia on (potentiaalienergia on negatiivinen, koska kappaleen lähtökorkeus valittiin nollatasoksi). Tällöin kappaleen nopeus on
.
Aika, joka kappaleelta kuluu kulkea pisteestä pisteeseen on:
Integraali ratkeaa muuttujanvaihdolla: olkoon uusi muuttuja siten, että
.
Tällöin ja edelleen . Sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja ratkaistaan integraali:
missä on integroimisvakio. Tuloksena on siis parametrisoitu käyrä:
Tämä käyrä saadaan kulkemaan pisteen kautta asettelemalla parametrit ja sopivasti. Lähtöpisteessä muuttuja saa arvon 0.
Eulerin yhtälö osoittaa, että tämä käyrä on :n ääriarvokohta. Kuten dynaamisten systeemien variaatiolaskennassa yleensä,[3] löydettiin tässäkin minimikohta. Ongelmaa ajatellen on selvää, ettei kyseessä voi olla maksimikohta, sillä myös mielivaltaisen pitkä käyrä voi saavuttaa pisteen . Näin ollen brakistokroniongelma on ratkaistu.
Osoittautuu, että vakiogravitaatiokentän brakistokroniongelman ratkaisukäyrä on sykloidi:
joka syntyy, kun -säteisen ympyrän kehällä oleva piste piirtää ratakäyränsä -tasoon ympyrän vieriessä pitkin -akselia. Parametri kuvaa tässä tapauksessa ympyrän kiertokulmaa lähtöhetkeen nähden. Sykloidi toistuu samanlaisena aina parametrin jaksolla (radiaania).
↑ abThe brachistochrone problem mathshistory.st-andrews.ac.uk. Viitattu 23.12.2023. (englanniksi)
↑ abcThornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 211–213. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)
Aiheesta muualla
Lisää luettavaa aiheesta Brakistokroni on Wikiaineistossa
Wolfram MathWorld: Brachistochrone Problem (englanniksi)