Identités de Rogers-Ramanujan

En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques suivantes^[1], qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\color {Red}n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5k\color {Red}+1})(1-q^{5k\color {Red}+4})}},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\color {Red}n(n+1)}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5k\color {Red}+2})(1-q^{5k\color {Red}+3})}}.}$

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894^[2], puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913^[3]. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve^[4]. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917^[5].

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

${\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}$ (suite A003114 de l'OEIS)

et

${\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,}$ (suite A003106 de l'OEIS).

Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :

${\displaystyle (q;q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}$

${\displaystyle (q;q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+1})}$

${\displaystyle (q^{4};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+4})}$

${\displaystyle (q^{2};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+2})}$

${\displaystyle (q^{3};q^{5})_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{5k+3})}$

Pour la première identité (G), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9, etc.)^[6],[7].

Pour la seconde (H) :

• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}}$ est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2.
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$ est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

• (en) Cilanne Boulet et Igor Pak (en), « A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 113, n^o 6,‎ 2006, p. 1019-1030 (DOI 10.1016/j.jcta.2005.09.007, arXiv math/0411072, lire en ligne)
• (en) David Bressoud, « An easy proof of the Rogers-Ramanujan identities », J. Number Theory, vol. 16, n^o 2,‎ 1983, p. 235-241 (DOI 10.1016/0022-314X(83)90043-4)

• Fraction continue de Rogers-Ramanujan
• Identité du produit quintuple
• Polynômes de Rogers (en)
• Théorème des nombres pentagonaux
• Triple produit de Jacobi

• (en) Eric W. Weisstein, « Rogers-Ramanujan Identities », sur MathWorld

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