Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors[1],[2],[3],[4],[5]
.
Reformulations
Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons et ; le membre de droite est alors la fonction thêta :
.
Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant et , il se réécrit
ou encore
,
où les sont des q-symboles de Pochhammer : .
Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour ,
.
Corollaires
Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant et dans . On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler[6],[7] :
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi triple product » (voir la liste des auteurs).
↑G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], p. 364, th. 352.
↑(en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, , chap. 14, p. 304-328, th. 14.6.
↑(en) Victor Kac et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), p. 35-36
↑(en) Daniel Duverney, Number Theory, World Scientific, (lire en ligne), p. 104-105.
↑Une démonstration de l'identité formelle, reposant sur les deux identités d'Euler, figure dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
↑(en) L. Carlitz et M. V. Subbarao (en), « A simple proof of the quintuple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 32, , p. 42-44 (lire en ligne).