En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopiquecentré, ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope, ou polychore, par couches successives autour du centre.
Cas des 4-polytopes réguliers
Formules
Si l'on note le nombre de points à l'étape , où il y a points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :
Notons que est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.
Principe d'obtention de ces formules
On considère un 4-polytope régulier à sommets, arêtes, faces et cellules : Supposons que la figure de l'étape soit construite ; on obtient la figure de l'étape en ajoutant[1],[2] :
nouveaux points situés aux nouveaux sommets,
nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles arêtes,
nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles faces k-gonales, étant le nombre k-gonal d'ordre ,
nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles cellules, étant le nombre polyédrique d'ordre associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.
Si l'on note le nombre de points à l'étape , on a donc .
Partant de , on obtient donc en écrivant .
Exemple pour le 4-hypercube
Pour le 4-hypercube, ; et ; enfin .
On obtient , ce qui donne bien .
Références
↑(en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 219-232
↑(en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, no 1, , p. 68 (lire en ligne)