En mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui compte des points régulièrement répartis dans un pentagone.
Pour tout entier ≥ 1, d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, à l'étape où il y a points dans chaque côté du pentagone, le nombre pentagonal est la somme des premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3[1] :
soit le tiers du (3 – 1)-ième nombre triangulaire.
Les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 (suite A000326 de l'OEIS).
Pour avoir points sur chaque côté du pentagone extérieur, on ajoute à l'étape : points aux sommets du pentagone et points à l'intérieur des côtés, d'où .
Donc
Autre construction
De la formule générale , découle que est la somme du nombre carré d'ordre : et du nombre triangulaire d'ordre : .
Un réel positif x est un nombre pentagonal si et seulement si l'équation du second degré 3n2 – n – 2x possède une solution entière > 0, c'est-à-dire si le réel suivant est entier :
Lorsque est entier, x est le -ième nombre pentagonal.
Nombres pentagonaux généralisés
Les nombres pentagonaux généralisés sont les nombres de la forme n(3n – 1)/2, mais avec n entier relatif, ou encore : les nombres de la forme n(3n ± 1)/2 avec n entier naturel. Les vingt premiers termes de cette suite d'entiers sont 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126 et 145 (suite A001318 de l'OEIS).
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pentagonal number » (voir la liste des auteurs).
↑Jean Itard, Arithmétique et théorie des nombres, Paris, PUF, , 128 p. (ISBN978-2130324300), p. 8.
↑Roger B. Nelsen, Preuves sans mots, Hermann, , p. 214
↑ACL, Preuves en images, t. 1, Les Éditions du Kangourou, (présentation en ligne), p. 14