Isometria dello spazio iperbolico

In geometria, una isometria dello spazio iperbolico è una isometria dello spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Si tratta cioè di un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi.

Le isometrie dello spazio iperbolico si comportano per alcuni aspetti in modo simile a quelle dello spazio euclideo, ma sono più ricche di queste in altri aspetti. Possono essere studiate efficacemente tramite la sfera all'infinito.

Le isometrie dello spazio iperbolico formano un gruppo.

Una isometria di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è un diffeomorfismo che preserva il tensore metrico. In particolare, preserva la distanza fra punti, le geodetiche, gli angoli fra curve e i volumi.

Nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, esempi di isometrie sono le traslazioni e le rotazioni. Tramite queste isometrie è possibile spostare punti e rette a piacimento: la stessa proprietà vale anche nello spazio iperbolico.

Come lo spazio euclideo, anche lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è infatti omogeneo e isotropo: i punti e le rette sono tutti indistinguibili. Più precisamente, per ogni coppia di punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, e per ogni coppia di rette ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ passanti rispettivamente per ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$, esiste una isometria dello spazio che manda ${\displaystyle P}$ in ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle s}$. Questo fatto può essere mostrato agevolmente scegliendo il modello più appropriato.

Nel modello del semispazio, il punto ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$ può essere spostato su un arbitrario ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ tramite la composizione delle isometrie

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1}+X_{1},\ldots ,x_{n-1}+X_{n-1},x_{n})}$

e

${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})=(X_{n}x_{1},\ldots ,X_{n}x_{n}).}$

Quindi è possibile spostare ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ su un punto arbitrario. Nel modello del disco di Poincaré, si può supporre che ${\displaystyle P=Q}$ sia l'origine ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$. A questo punto, ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle s}$ sono due rette passanti per l'origine, e possono essere portate l'una nell'altra tramite una opportuna rotazione del disco (centrata nell'origine).

Nel modello del disco di Poincaré ${\displaystyle B^{n}}$, la sfera all'infinito dello spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ è il bordo ${\displaystyle \partial B^{n}}$ del disco. Si tratta quindi della sfera ${\displaystyle S^{n-1}}$ di dimensione ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle S^{n-1}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ |x|=1{\big \}}.}$

La sfera all'infinito può essere definita in modo intrinseco a partire da ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$, a prescindere dal modello. Viene indicata con ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{n}}$. Aggiungendo allo spazio iperbolico la sfera all'infinito, si ottiene uno spazio che viene indicato con

${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}=\mathbb {H} ^{n}\cup \partial \mathbb {H} ^{n}.}$

Come spazio topologico, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}}$ è omeomorfo al disco chiuso

${\displaystyle D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}=B^{n}\cup S^{n-1}.}$

Si tratta quindi di uno spazio compatto. Il procedimento di compattificazione tramite aggiunta di "punti all'infinito" è simile al passaggio dallo spazio euclideo a quello proiettivo.

Una isometria dello spazio iperbolico

${\displaystyle f:\mathbb {H} ^{n}\to \mathbb {H} ^{n}}$

si estende al bordo. Esiste cioè un unico omeomorfismo

${\displaystyle {\bar {f}}:{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}\to {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}}$

che coincide con ${\displaystyle f}$ all'interno del disco, cioè su ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. La funzione ${\displaystyle {\bar {f}}}$ non può essere globalmente un'isometria, per un motivo semplice: lo spazio ${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}}$ non è uno spazio metrico, poiché la distanza è definita solo al suo interno, su ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$, ma non sul bordo (i punti al bordo non sono veri e propri punti dello spazio iperbolico: sono all'infinito e quindi hanno informalmente distanza infinita rispetto a quelli interni).

Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che ogni omeomorfismo del disco chiuso ${\displaystyle D^{n}}$ in sé ha un punto fisso. Tale teorema, che non è valido sulla palla aperta ${\displaystyle B^{n}}$, garantisce quindi l'esistenza di un punto fisso per la funzione estesa ${\displaystyle {\bar {f}}}$ (ma non per ${\displaystyle f}$).

Una isometria ${\displaystyle f}$ che preservare l'orientazione dello spazi iperbolico è detta:

• ellittica se ha un punto fisso in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$,
• parabolica se non ha punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ e ne ha uno al bordo ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{n}}$,
• iperbolica se non ha punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ e ne ha due al bordo ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{n}}$.

Non vi sono altre possibilità oltre a quelle elencate.

Ogni varietà iperbolica completa è ottenibile come quoziente dello spazio iperbolico per un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. In particolare, una tale isometria non deve avere punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Se la varietà iperbolica è orientabile, il gruppo è formato da isometrie che preservano l'orientazione. Tali isometrie sono quindi iperboliche o paraboliche (le ellittiche sono escluse perché hanno punti fissi in ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$). Se la varietà è compatta, tutte le isometrie sono iperboliche.

• (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.

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