Funkcja mierzalna

Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue’a).

Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Definicja ta wydaje się prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane σ {\displaystyle \sigma } -algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja f : ( R , L ) → ( R , B ) , {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}),} tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się σ {\displaystyle \sigma } -algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj L {\displaystyle {\mathcal {L}}} oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś B {\displaystyle {\mathcal {B}}} jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrę borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Np. funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej[1].

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki

  • Jeżeli ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} oraz ( Y , N ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {N}})} są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna f : ( X , F ) → ( Y , N ) {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {N}})} bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia Y → π X , {\displaystyle Y{\stackrel {\pi }{\to }}X,} to nazywa się je cięciem borelowskim.
  • funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a to funkcja mierzalna f : ( R , L ) → ( C , B C ) , {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),} gdzie L {\displaystyle {\mathcal {L}}} oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś B C {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }} to σ-algebra borelowska liczb zespolonych C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
  • Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).

Własności

  • Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne[2]. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero[1].
  • Jeżeli funkcja f {\displaystyle f} jest M 1 / M 2 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}} -mierzalna, a funkcja g {\displaystyle g} jest M 2 / N {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}/{\mathcal {N}}} -mierzalna, to ich złożenie g ∘ f {\displaystyle g\circ f} jest M 1 / N {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {N}}} -mierzalne[1][3], gdzie sformułowanie „funkcja M 1 / M 2 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}} -mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja f : ( X , M 1 ) → ( Y , M 2 ) . {\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {M}}_{1})\to (Y,{\mathcal {M}}_{2}).} Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie σ {\displaystyle \sigma } -algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a we wstępie).
  • (Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi[1][4]. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
  • Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).

Funkcje niemierzalne

Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

  • O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli ( X , M ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}})} jest pewną przestrzenią mierzalną, a A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} jest zbiorem niemierzalnym, tj. A ∉ M , {\displaystyle A\notin {\mathcal {M}},} to funkcja charakterystyczna zbioru 1 A : ( X , M ) → R {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon (X,{\mathcal {M}})\to \mathbb {R} } jest niemierzalna (gdzie R {\displaystyle \mathbb {R} } wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego { 1 } {\displaystyle \{1\}} jest zbiór niemierzalny A . {\displaystyle A.}
  • Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie σ {\displaystyle \sigma } -algebry. Jeżeli f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to f {\displaystyle f} jest niemierzalna, jeśli wyposażyć X {\displaystyle X} w algebrę antydyskretną M = { 0 , X } , {\displaystyle {\mathcal {M}}=\{0,X\},} gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór X , {\displaystyle X,} który nie należy do M . {\displaystyle {\mathcal {M}}.}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ a b c d Robert Strichartz: The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000. ISBN 0-7637-1497-6.
  2. ↑ Gerald B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
  3. ↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.
  4. ↑ H.L. Royden: Real Analysis. Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.

Bibliografia

  • Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.