Przekształcenie wieloliniowe

Ten artykuł dotyczy przekształceń wieloliniowych w ogólności. Zobacz też: przekształcenie jednoliniowe (forma jednoliniowa), przekształcenie dwuliniowe (forma dwuliniowa).

Przekształcenie wieloliniowe – funkcja określona na iloczynie kartezjańskim^[a] przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi. Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest ustalona, równa ${\displaystyle n,}$ to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach ${\displaystyle n}$-liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

 Zobacz też: funkcja symetryczna, funkcja antysymetryczna i funkcja alternująca.

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {f} \colon M^{n}\to N,}$ gdzie ${\displaystyle M,N}$ są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym ${\displaystyle R,}$ gdzie ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ oraz permutacja ${\displaystyle \sigma }$ należąca do grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{n}.}$ Zamiana argumentów funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez ${\displaystyle \sigma }$ daje inną funkcję ${\displaystyle M^{n}\to N}$ daną wzorem ${\displaystyle ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})\mapsto \mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)}$^[b]. Funkcję ${\displaystyle \mathrm {f} }$ nazywa się odpowiednio

• symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,

  ${\displaystyle \mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n};}$

• antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,

  ${\displaystyle \mathrm {f} \left({\mathsf {m}}_{\sigma (1)},\dots ,{\mathsf {m}}_{\sigma (n)}\right)=(\operatorname {sgn} \;\sigma )\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n}){\text{ dla dowolnej }}\sigma \in S_{n};}$

• alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,

  ${\displaystyle \mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i}={\mathsf {m}}_{j}{\text{ dla }}i\neq j{\text{ oraz }}n\geqslant 2.}$

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami ${\displaystyle 1,2,\dots ,n,}$ jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych^[c]. Jeżeli ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ to przekształcenie wieloliniowe ${\displaystyle \mathrm {f} \colon M^{n}\to N,}$ które jest alternujące, jest również antysymetryczne^[d]; w ogólności dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$ dowolna funkcja ${\displaystyle \mathrm {f} \colon M^{n}\to N}$ jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=-\mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i-1},{\mathsf {m}}_{i+1},{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+2},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})}$

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{i},{\mathsf {m}}_{i+1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})={\mathsf {0}},{\text{ o ile }}{\mathsf {m}}_{i}={\mathsf {m}}_{i+1}}$

dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$^[e]. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli ${\displaystyle 2}$ jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia^[f] – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji ${\displaystyle M^{n}\to N}$ tworzy moduł nad pierścieniem ${\displaystyle R,}$ a przekształcenia wieloliniowe ${\displaystyle M^{n}\to N}$ tworzą podmoduł wspomnianego modułu^[g]; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu^[h] (zob. przestrzeń funkcyjna).

Funkcja ${\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(R)\times \mathrm {Mat} _{n}(R)\to R}$ dana wzorem ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )\mapsto \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )}$ jest symetryczna. Funkcja ${\displaystyle R^{2}\times R^{2}\to R}$ przekształcająca ${\displaystyle {\big (}\scriptstyle {\binom {a}{c}}\displaystyle ,\scriptstyle {\binom {b}{d}}\displaystyle {\big )}\mapsto ad-bc}$ (por. wyznacznik^[i]) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,}$ czy jego zespolony odpowiednik ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R} }$ odwzorowujący ${\displaystyle (z,w)\mapsto \mathrm {im} \left(z{\overline {w}}\right).}$ Jeżeli ${\displaystyle R}$ zawiera ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$ czyli ${\displaystyle 1=-1}$ w ${\displaystyle R,}$ to mnożenie ${\displaystyle R\times R\to R}$ jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Jeśli przekształcenie ${\displaystyle \mathrm {f} \colon M^{n}\to N}$ jest wieloliniowe, a ${\displaystyle \mathrm {g} \colon N\to P}$ jest liniowe, to ich złożenie ${\displaystyle \mathrm {g} \circ \mathrm {f} }$ również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli ${\displaystyle \mathrm {f} }$ było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to ${\displaystyle \mathrm {g} \circ \mathrm {f} }$ ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi; ${\displaystyle n}$-te przekształcenie tensorowe ${\displaystyle \otimes \colon M^{n}\to M^{\otimes n}}$ odwzorowujące ${\displaystyle ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})}$ w ${\displaystyle {\mathsf {m}}_{1}\otimes \ldots \otimes {\mathsf {m}}_{n},}$ jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na ${\displaystyle M^{n},}$ a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych ${\displaystyle R}$-modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi ${\displaystyle \mathrm {f} \colon M_{1}\times \ldots \times M_{n}\to N}$ oraz przekształceniami liniowymi ${\displaystyle \mathrm {F} \colon M_{1}\otimes \ldots \otimes M_{n}\to N}$ dana wzorem

${\displaystyle \mathrm {f} ({\mathsf {m}}_{1},\dots ,{\mathsf {m}}_{n})=\mathrm {F} ({\mathsf {m}}_{1}\otimes \ldots \otimes {\mathsf {m}}_{n}).}$

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},Y}$ są przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego ${\displaystyle \mathrm {f} \colon X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y,}$ która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista ${\displaystyle C>0,}$ że dla każdego wektora ${\displaystyle (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})\in X_{1}\times \ldots \times X_{n}}$ zachodzi

${\displaystyle {\big \|}\mathrm {f} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}){\big \|}\leqslant C\|\mathbf {x} _{1}\|\dots \|\mathbf {x} _{n}\|.}$

• forma półtoraliniowa
• forma wieloliniowa

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce