Wahadło podwójne utworzone jest z wahadła z doczepionym do jego końca drugim wahadłem. Ten prosty układ fizyczny wykazuje bogate zachowanie dynamiczne z silną wrażliwością na warunki początkowe, tzn. jest to układ chaotyczny. Ruch wahadła podwójnego opisuje się układem sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych.
Analiza i interpretacja
Wahadło podwójne złożone jest z dwóch wahadeł.
Można rozważyć kilka wariantów podwójnego wahadła: wahadła mogą mieć równe lub nierówne długości i masy, mogą być wahadłami matematycznymi (prostymi) lub wahadłami fizycznymi, ruch wahadeł może odbywać się w trzech wymiarach lub ograniczać się do płaszczyzny pionowej. W poniższej analizie przyjmuje się, że mamy identyczne wahadła zbudowane z ważkich prętów o długości l i masie m, a ruch jest ograniczony do dwóch wymiarów.
Wahadło fizyczne podwójne.
W takim wahadle złożonym masa jest rozłożona wzdłuż długości prętów; środek masy każdego pręta znajduje się w jego punkcie środkowym; moment bezwładności każdego pręta liczony względem jego środka wynosi .
Do zapisu równań ruchu wygodnie jest posłużyć się kątami , jakie tworzą wahadła z pionem (są to współrzędne uogólnione, które definiują przestrzeń konfiguracyjną układu. Położenie środka masy każdego pręta wyrazimy w tych współrzędnych. Jeżeli za początek układu kartezjańskiego przyjmiemy punkt mocowania pierwszego wahadła, to jego środek masy ma współrzędne:
a środek masy drugiego wahadła ma współrzędne:
Teraz można zapisać Lagrangian układu.
Lagrangian
Lagrangian ma postać:
Pierwszy wyraz przedstawia energię kinetyczną środków masy obu prętów, drugi przedstawia energię ruchu obrotowego każdego z prętów wokół ich środków masy. Ostatni wyraz - to energia potencjalna prętów w polu grawitacyjnym. Kropki nad symbolami oznaczają pochodne względem czasu rozpatrywanych tu zmiennych.
Podstawiając powyższe wyrażenia i zmieniając kolejność wyrazów otrzymamy
Tylko energia jest wielkością zachowaną, moment pędu nie jest zachowany. Dwa uogólnione pędy można zapisać następująco:
Wyrażenia powyższe można odwrócić i otrzymamy:
Pozostałe równania ruchu mają postać:
Cztery ostatnie równania pokazują w sposób jawny ewolucję układu w czasie. Nie jest możliwe scałkowanie tych równań tak, by dostać w funkcji czasu. Jednak jest możliwe dokonanie całkowania numerycznego tych równań za pomocą np. metody Runge Kutta.
Ruch chaotyczny
Wykres czasów, w jakich wahadło dokonuje całego obrotu w zależności od warunków początkowych. Długoczasowa ekspozycja wahadła podwójnego wskazuje na jego ruch chaotyczny (tor utrwalony za pomocą diod LED)
Wahadło podwójne podlega ruchowi chaotycznemu i wykazuje dużą zależność ruchu od niewielkich zmian warunków początkowych. Wykres po prawej stronie przedstawia zależność czasu, jaki upłynął zanim wahadło odwróciło się, w zależności od ę położenia początkowego, w którym wahadło spoczywało. Tutaj wartość początkowa zmienia się wzdłuż osi poziomej od −3.14 to 3.14. Wartość początkowa zmienia się wzdłuż osi pionowej od −3.14 to 3.14. Kolor każdego piksela wskazuje ile razy dłuższy czas upłynął, by wahadło wykonało pełny obrót względem czasu minimalnego
czarny:
czerwony:
zielony:
niebieski:
fiolet:
biały:
Trzy podwójne wahadła z bliskimi warunkami początkowymi szybko rozbiegają się, wskazując na chaotyczny charakter ruchu układu.
Brzeg białego obszaru jest określony częściowo z zasady zachowania energii krzywą o równaniu
Wewnątrz tego obszaru, danego nierównością
jest niemożliwy obrót żadnego z wahadeł. Na zewnątrz tego obszaru wahadło może obrócić się, ale trudno określić, kiedy to nastąpi. Podobne zachowanie obserwuje się dla wahadła podwójnego złożonego z dwóch punktowych mas (zamiast z dwóch prętów).[1]
Brak naturalnej częstotliwości wzbudzeń wykorzystuje się w układach tłumienia w budynkach, gdzie budynek pełni rolę wahadła odwróconego, a druga masa, dołączona do niego, tworzy z budynkiem wahadło podwójne.
↑Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum, (2013). Artykuł przygotowany jako przykład dla studentów. Obejmuje wyprowadzenie równań ruchu i porównanie podwójnego wahadła z 2 masami punktowymi i podwójnego wahadła z 2 prętami.
Bibliografia
Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
Peter Lynch Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
Northwestern University, Double Pendulum
Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).