Wzory Cramera – twierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych. Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku[1].
Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie), stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).
Twierdzenie
Niech dany będzie układ równań liniowych
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\ldots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}={\color {Maroon}\mathbf {b} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8fd824dba0da3527b3208957fafc7f1d7627ba)
gdzie
oraz
Jeśli wyznacznik
to układ jest
- oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {RoyalPurple}x_{1}}&={\frac {\det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\;\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}{\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}},\\[6pt]&\ \ \vdots \\[6pt]{\color {RoyalPurple}x_{n}}&={\frac {\det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n-1},\;{\color {Maroon}\mathbf {b} })}{\det(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n-1},\mathbf {a} _{n})}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193f3d9f21a697847e8bdad5f18d71ca8afdd61c)
W przeciwnym przypadku, gdy
układ jest
- sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy
- choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający
jest różny od zera;
- nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy
- wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające
są równe zeru.
Dowód
Lemat
Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.
- Konieczność
- Dowód nie wprost. Jeśli
to układ
jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor
dla którego ![{\displaystyle y_{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +y_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b1f21d4e434e158a2d84743cf2c53067a392b2)
- co oznacza, że
![{\displaystyle ({\color {RoyalPurple}x_{1}}+y_{1})\mathbf {a} _{1}+\ldots +({\color {RoyalPurple}x_{n}}+y_{n})\mathbf {a} _{n}=\color {Maroon}\mathbf {b} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866f878f49bc10044e806608558cabbc1d08207e)
- czyli wektor
jest jeszcze jednym, różnym od
rozwiązaniem danego układu.
- Dostateczność
- Niezerowy wyznacznik,
pociąga liniową niezależność układu
który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ
jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie ![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\ldots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}=\color {Maroon}\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1a5d9bd50091481c43f1fa4c4e7bc0d32bf732)
- w tej bazie, zatem
jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).
Dowód
Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor
który spełniałby
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}\mathbf {a} _{1}+\ldots +{\color {RoyalPurple}x_{n}}\mathbf {a} _{n}={\color {Maroon}\mathbf {b} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8fd824dba0da3527b3208957fafc7f1d7627ba)
zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi
![{\displaystyle \det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\det \left(\sum _{i=1}^{n}{\color {RoyalPurple}x_{i}}\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\color {RoyalPurple}x_{i}}\det(\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c635f5d1faafecc7f1b5ee55cc6bb043fb66c28)
zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że
![{\displaystyle \det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})={\color {RoyalPurple}x_{1}}\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8416f245b055db8560a1e6a9f269c12eb9d9360b)
skąd jest
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x_{1}}={\frac {\det({\color {Maroon}\mathbf {b} },\;\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}{\det(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\dots ,\mathbf {a} _{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b80ae97ac6af233f384c5003497a5f633ee6109)
Pozostałe współrzędne wektora
otrzymuje się analogicznie.
Przykłady
Układy małych stopni
Układ równań
![{\displaystyle {\begin{cases}a{\color {RoyalPurple}x}+b{\color {RoyalPurple}y}=\color {Maroon}e\\c{\color {RoyalPurple}x}+d{\color {RoyalPurple}y}=\color {Maroon}f\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9db8b64685dc7d6cf5d4da27f1a4dda60e2ec15)
zapisany w postaci macierzowej ma postać
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {RoyalPurple}x\\\color {RoyalPurple}y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {Maroon}e\\\color {Maroon}f\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7406c91e839b6015d1112e71f2f59b9819f6ac1b)
Jego rozwiązania mają wtedy postać
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x}={\begin{vmatrix}\color {Maroon}e&b\\\color {Maroon}f&d\end{vmatrix}}\ {\Bigg /}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\frac {{\color {Maroon}e}d-b{\color {Maroon}f}}{ad-bc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2838e3c330ea52ecac324002eb0677f4893e3172)
oraz
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}y}={\begin{vmatrix}a&\color {Maroon}e\\c&\color {Maroon}f\end{vmatrix}}\ {\Bigg /}\ {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\frac {a{\color {Maroon}f}-{\color {Maroon}e}c}{ad-bc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6531b66984f095bf50af7c8118090a6fc8fa716a)
Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci
![{\displaystyle {\begin{cases}a{\color {RoyalPurple}x}+b{\color {RoyalPurple}y}+c{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}j\\d{\color {RoyalPurple}x}+e{\color {RoyalPurple}y}+f{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}k\\g{\color {RoyalPurple}x}+h{\color {RoyalPurple}y}+i{\color {RoyalPurple}z}=\color {Maroon}l\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2a72cc9b0dc7fe6669cdbbb148d120e6e54463)
zapisuje się w postaci macierzowej jako
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {RoyalPurple}x\\\color {RoyalPurple}y\\\color {RoyalPurple}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {Maroon}j\\\color {Maroon}k\\\color {Maroon}l\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1faac5f7d1737b994adaad2a512eadcf9aac056)
a jego rozwiązaniami są wtedy
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}x}={\frac {\begin{vmatrix}\color {Maroon}j&b&c\\\color {Maroon}k&e&f\\\color {Maroon}l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad {\color {RoyalPurple}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {Maroon}j&c\\d&\color {Maroon}k&f\\g&\color {Maroon}l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\quad {\mbox{ oraz }}{\color {RoyalPurple}z}={\frac {\begin{vmatrix}a&b&\color {Maroon}j\\d&e&\color {Maroon}k\\g&h&\color {Maroon}l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d861484f2c61b7f6f67a8a956dc6b77d7ce0c171)
Pochodne funkcji uwikłanych
Niech dane będą dwa równania
oraz
Jeśli
oraz
są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że
oraz
dają się wyrazić jako
oraz
Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego
Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej, należy w pierwszej kolejności obliczyć różniczki
oraz
za pomocą których zostanie ona wyrażona:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial F}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial F}{\partial v}}\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} G&={\frac {\partial G}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial G}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial G}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial G}{\partial v}}\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} x&={\frac {\partial x}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial x}{\partial v}}\mathrm {d} v\\[6pt]\mathrm {d} y&={\frac {\partial y}{\partial u}}\mathrm {d} u+{\frac {\partial y}{\partial v}}\mathrm {d} v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7839b051efedc797438be6c1066995334f2d5fda)
Podstawiając
oraz
do równań na
oraz
otrzymuje się:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} F&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0\\[6pt]\mathrm {d} G&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0daef5059e975ecfc2d32a6600a4f2f7a6176a6a)
Ponieważ
i
są niezależne, to współczynniki przy
i
muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial x}{\partial u}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial y}{\partial u}}}&={\color {Maroon}-{\frac {\partial F}{\partial u}}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial x}{\partial u}}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial y}{\partial u}}}&={\color {Maroon}-{\frac {\partial G}{\partial u}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62306c7a28105f90c2a2368765cb5bcc00067196)
oraz
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial x}{\partial v}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial y}{\partial v}}}&={\color {Maroon}-{\frac {\partial F}{\partial v}}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial x}{\partial v}}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\color {RoyalPurple}{\frac {\partial y}{\partial v}}}&={\color {Maroon}-{\frac {\partial G}{\partial v}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3583313a91dafb07b3d387d75911fe06b0557ef)
Ze wzorów Cramera wynika teraz
![{\displaystyle {\color {RoyalPurple}{\frac {\partial x}{\partial u}}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {Maroon}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}\\\color {Maroon}-{\frac {\partial G}{\partial u}}&\quad {\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\quad {\frac {\partial F}{\partial x}}&\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}\\\quad {\frac {\partial G}{\partial x}}&\quad {\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}={\frac {-{\dfrac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}}{\quad {\dfrac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f958882ee1481aa76fd34ffd1a17e4902c2a14)
czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.
Podobne wzory można wyprowadzić dla
Przypisy
- ↑ Cramera wzory, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
Bibliografia
- Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej. Warszawa-Wrocław: Monografie Matematyczne, 1946, s. 40–43.
Wektory i działania na nich | |
---|
Układy wektorów i ich macierze | |
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
---|
Przestrzenie liniowe | |
---|
Iloczyny skalarne | |
---|
Pojęcia zaawansowane | |
---|
Pozostałe pojęcia | |
---|
Powiązane dyscypliny | |
---|
Znani uczeni | |
---|
- PWN: 3888087
- Britannica: topic/Cramers-rule
- NE.se: cramers-regel
- Catalana: 0020498