Funkcja różniczkowalna
Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny[1] i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od i ).
W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.
Funkcja n-krotnie różniczkowalna
Definicja:
(1) Jeżeli funkcja ma pochodną określoną w zbiorze oraz funkcja ma pochodną określoną w zbiorze to mówimy, że
- jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze
- funkcja jest drugą pochodną funkcji określoną na zbiorze
(2) Funkcję nazywa się -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.
Funkcja klasy Cn
Motywacja
Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna -tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy
Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.
Definicja
(1) Funkcję określoną na przedziale nazywa się funkcją klasy gdzie jeżeli w przedziale ma ciągłych pochodnych.
(2) Funkcje klasy to funkcje ciągłe.
(3) Funkcje klasy (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę nazywa się też klasą funkcji gładkich.
Przykłady
- Funkcja klasy jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła.
- Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy
- Funkcja jest klasy ale nie klasy
- Funkcja dana wzorem:
jest klasy ale nie jest klasy
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło różniczkowalny w Wikisłowniku |
- funkcja całkowalna
- funkcja holomorficzna
Przypisy
- ↑ funkcja różniczkowalna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-02-07] .
- p
- d
- e
pojęcia ogólne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji |
| ||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi |
| ||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |||||
twierdzenia | |||||
powiązane funkcje |
| ||||
inne powiązane tematy | |||||
uczeni |
- PWN: 3969620