Funkcjonał
Funkcjonał – wieloznaczne pojęcie matematyczne, opisujące różne typy funkcji; przeważnie są definiowane przeciwdziedziną, a czasem też dziedziną w sensie zbioru argumentów. Według różnych autorów funkcjonał to funkcja:
- o wartościach liczbowych[1];
- o wartościach liczbowych na zbiorze funkcji[2][a];
- rzeczywista lub zespolona określona na dowolnym zbiorze[3][4];
- rzeczywista lub zespolona na dowolnym zbiorze funkcji[3][5];
- z przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów[6];
- powyższego typu będąca jednocześnie przekształceniem liniowym[7] ;
- rzeczywista na przestrzeni liniowej[8] nad ciałem liczb rzeczywistych[9];
- rzeczywista na przestrzeni Banacha lub jej podzbiorze[10].
Trzecie ani czwarte znaczenie nie są rozłączne z piątym, ponieważ:
- funkcję rzeczywistą lub zespoloną można określić na przestrzeni liniowej ze skalarami rzeczywistymi lub zespolonymi;
- przestrzenią tą może być przestrzeń funkcyjna.
Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej forma, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie[11]. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).
Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.
Przykłady
Dualność
Osobny artykuł: Moduł dualny.
(1) Funkcja
przekształca argument na wartość funkcji w punkcie
(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu tj.
Jeśli jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez dany argument odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję – nazywa się wtedy dualną do funkcji a obydwie funkcje są funkcjonałami liniowymi.
Całka oznaczona
Osobny artykuł: Całka oznaczona.
Całki postaci
gdzie:
- – funkcja o wartościach rzeczywistych,
tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję na liczbę rzeczywistą.
W szczególności należą do tej klasy:
- pole pod wykresem nieujemnej funkcji
- p-ta norma funkcji całkowalnej
Iloczyn skalarny
Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.
Dla danego wektora z przestrzeni wektorowej iloczyn skalarny z wektorem oznaczony lub jest skalarem. Dlatego wyznacza funkcjonał:
Równanie funkcyjne
Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.
Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci są funkcje, dla których wartości funkcjonałów i są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:
Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna
Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.
Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.
Forma a funkcjonał
W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:
(1) Gleichgewicht[6] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:
- [...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
- zwanej formą liniową, [...]
- [...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
a potem
- (10.4)
- [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.
Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.
(2) Lang[7] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej (nad ciałem ) w ciało Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).
- Natomiast Komorowski (1978) używa jedynie określenia forma, pisząc[12]:
- Elementy przestrzeni nazywamy formami liniowymi na często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.
W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:
- Elementy p.w. nazywamy formami n-liniowymi.
(3) Musielak (1976) pisze[13]:
- [...] operator liniowy nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.
Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Argumentem tak rozumianego funkcjonału jest funkcja, dlatego czasem funkcjonały nazywa się funkcjami funkcji. Analogicznym pojęciem w informatyce jest funkcja wyższego rzędu.
Przypisy
- ↑ Moszner 1974 ↓, s. 83.
- ↑ Żakowska 1972 ↓, s. 89.
- ↑ a b funkcjonał, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
- ↑
Functional (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-22].
- ↑ Hasło funkcjonał [w:] Encyklopedia popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982, ISBN 83-01-01750-3, s. 223.
- ↑ a b Gleichgewicht 1983 ↓, s. 175–177.
- ↑ a b Lang 1973 ↓.
- ↑ ToddT. Rowland ToddT., Functional, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-23].
- ↑ Krysicki i Włodarski 2006 ↓, s. 44.
- ↑ Pierzchalski 1995 ↓, s. 334.
- ↑ forma, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .
- ↑ Komorowski 1978 ↓, s. 68.
- ↑ Musielak 1976 ↓, s. 120.
Bibliografia
- Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983. ISBN 83-01-03903-5.
- Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: PWN, 1978.
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.
- Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: PWN, 1973.
- Zenon Moszner: O teorii relacji. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1974.
- Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
- Antoni Pierzchalski: Rachunek wariacyjny. W: Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
- Anna Żakowska: funkcjonał [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.
Literatura dodatkowa
- III. Modules, § 6. The dual space and dual module. W: Serge Lang: Algebra. Nowy York: Springer-Verlag, 2005, s. 142–146.
- p
- d
- e
Wektory i działania na nich | |
---|---|
Układy wektorów i ich macierze | |
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
Przestrzenie liniowe | |
Iloczyny skalarne | |
Pojęcia zaawansowane | |
Pozostałe pojęcia |
|
Powiązane dyscypliny | |
Znani uczeni |
- p
- d
- e
pojęcia podstawowe |
| ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
obraz |
| ||||||||||||||||||||||
przeciwobraz |
| ||||||||||||||||||||||
typy (rodzaje) |
| ||||||||||||||||||||||
pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych | |||||||||||||||||||||||
złożenie funkcji (superpozycja) |
| ||||||||||||||||||||||
struktury definiowane funkcjami | |||||||||||||||||||||||
inne powiązane pojęcia | |||||||||||||||||||||||
twierdzenia | |||||||||||||||||||||||
uogólnienia |
|
- PWN: 3903297