Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o
zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa.
Równanie Pfaffa
Niech
będzie niepustym, otwartym podzbiorem
oraz
będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną w całym zbiorze
Rozwiązaniem (albo powierzchnią całkową równania) w zbiorze
równania
![{\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{n},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{n}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d2cae3eaed2da44784c62f978e358618eded8d)
nazywa się każdą taką funkcję
że
dla ![{\displaystyle x\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2494bed786064aac20efd5ea0fcaa3f787dd6f14)
Równaniem Pfaffa w przestrzeni
zmiennych
nazywa się równanie różniczkowe cząstkowe
![{\displaystyle dz-\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7020cf0a3b9f2ff4b3fa510cd0064f0d7dddbdc)
Rozwiązania równania Pfaffa można interpretować jako
-wymiarowe powierzchnie w
spełniające warunek
![{\displaystyle f(x,z,p)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74275129ace874db59aebf4737bb03dd0c8c47e0)
przy czym
Zobacz też
Bibliografia
- Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce