Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć[1].
Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.
Definicja
Niech
będą
-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz funkcji i ich pochodnych kolejnych rzędów
![{\displaystyle F(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})={\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf729801de49d00c75bbff405385be0d9ae0c77)
nazywa się macierzą fundamentalną[a] lub macierzą Wrońskiego.
Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,
![{\displaystyle W(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})=|F(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db0f7de11b313e42c84e620d777c1a4e93b76fc)
W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym,
Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&\cdots &y_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf092b9c70983b457fb83508c0097a1b28422079)
W tym przypadku zachodzi twierdzenie:
Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy
są liniowo zależne nad C wtedy i tylko wtedy gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[2].
Własności
Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje
![{\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{dla }}x<0\\0&{\text{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d58502a6b1d58f38c22c49d3e5776909103055)
oraz
![{\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0&{\text{dla }}x<0\\x^{2}&{\text{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9244c15d7ffd3db688ad97a207ce592349afd57)
Przykład zastosowania
Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe
oraz
tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:
Rozwiązanie:
Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a)
tzn.
jest rozwiązaniem.
b)
tzn.
również jest rozwiązaniem.
Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):
Wtedy:
c)
Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.
Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni
wnioskujemy, że układ
jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla
Uwagi
- ↑ Macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego – nosi jedynie taką samą nazwę.
Przypisy
- ↑ Wronskian, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
- ↑ Dowód można znaleźć np. w I. Kaplansky, An introduction to differential algebra.
Bibliografia
- Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania. Brak numerów stron w książce
- Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Wronskian, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
Wronskian (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
- PWN: 3998236
- БРЭ: 2333931